Page 115 - 11 Gauss

función de Euler torna valores reales, rrúentras que la de Riernann
lo hace en los complejos.
El interés de los matemáticos por esta suma infinita, lo que se
conoce en matemáticas por una serie, proviene del mundo de la
música y su origen es anterior a Euler, aunque fuera este quien
la estudiara de manera más profunda y encontrara los primeros
resultados que la ligaban con los números primos. Pitágoras com-
probó que el sonido que errútía un recipiente con agua dependía de
la cantidad de líquido que contuviera. Así, se dio cuenta de que los
sonidos eran armoniosos si la cantidad de agua era una fracción
del total cuyo numerador fuese l. O sea, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Pitágoras
llamó a esta serie, por sus virtudes musicales, armónica. La suma
de la serie armónica era el resultado de darle a x el valor 1 en la
función zeta de Euler. Se puede probar que la suma de esa serie es
infinito. Podría pensarse que ese es un resultado evidente, pues si
sumarnos un número infinito de térrrúnos positivos, necesaria-
mente la suma cada vez será mayor y terrrúnará divergiendo, o to-
rnando valor infinito. Lo cierto es que no es así: para x = 2 la serie
converge. De hecho, Euler demostró que el valor de

00 1 Jt2
C(2) =}:- =-.
n-1 n 2 6

En la historia de las matemáticas no siempre estuvo claro
que la suma de infinitos términos positivos tuviera necesaria-
mente que dar infinito e incluso se forjaron teorías filosóficas a
este respecto.
Sin duda, el primer gran resultado que liga a la función zeta
con los números primos fue el obtenido por Euler en 1737, que
afinna:

00
1 1
C(x) = Í: ~=TI - --x,
n•l n pEP 1- p
siendo x un número real y P el conjunto de los números primos.
En la fórmula se cambia la suma por un producto de fracciones
generadas por números primos. Para llegar a ese resultado Euler

PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS 115