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forman la parte central del trabajo y la VII es una pequeña mo-
nografía dedicada a un terna relacionado, pero separado de los
anteriores.
La sección I, de solo cinco páginas, introduce los conceptos
elementales, tales como las reglas de divisibilidad para 3, 9 y 11.
Además da la definición de congruencias que desarrollará en la
sección 11: dados dos números enteros a y b, si su diferencia
( a- b o b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos
que a, b son congruentes respecto al módulo m, y simbolizamos
esto escribiendo a=b (modm). Así, 56=6 (mod5) o 47'"' 14
(modll).
Las congruencias son un hallazgo fundamental en las mate-
máticas y ayudan a todo tipo de cálculos. La idea de las congruen-
cias surge del mismo principio que los relojes convencionales,
y de hecho también son conocidas como calculadoras de reloj. Si
un reloj analógico convencional marca las 9 y pasan 4 horas, las
manecillas se colocarán en la l. Por así decirlo 13 = 1 (rnod 12). Un
cálculo como 7 = 7 • 7 da como resultado 1 en módulo 12, puesto
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que 49 dividido entre 12 da de resto l. El resultado de la congruen-
cia es siempre el resto que queda al dividir el número por el deno-
minado módulo.
La potencia del sistema se pone de manifiesto cuando se trata
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de cálculos más complejos. Si se quiere calcular 7 = 7 • 7 • 7, en
lugar de multiplicar 49 por 7, Gauss podía limitarse a multiplicar
7 por la última congruencia obtenida, es decir 1, cuyo producto es
obviamente 7. Así Gauss sabía que el producto se trataba de un
número que dividido por 12 daba un resto 7. El método permite
utilizarlo con grandes números, que sobrepasaban su capacidad
de cálculo. Incluso sin tener ni idea del valor de r m, las congruen-
cias le decían que el número dividido por 12 daba 7 corno resto.
Los estudios de Gauss sobre este tipo de aritmética revoluciona-
ron las matemáticas de principios del siglo XIX, ayudando a los
matemáticos a descubrir estructmas que habían permanecido
ocultas. Hoy en día, la aritmética de congruencias, también lla-
mada modular , es fundamental para la seguridad de Internet,
donde se utilizan congruencias con cantidades que superan la de
átomos del universo.

58 «DISQUISITIONES ARITHMETICAE»