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enunciado inicialmente por Euler en 17 42 en una carta a Gold-
bach. Alrededor de medio siglo después, en 1798, Legendre pu-
blicó una demostración que se basaba en argumentos no proba-
dos. Así que la primera demostración correcta del resultado fue la
de Gauss, que lo tenía en gran estima y lo denominó el teorema
áureo. Dicho teorema se puede enunciar de la siguiente forma,
que es tal y como aparece en el libro de Gauss:

Si p es primo de la forma 4n + 1, entonces + p será un residuo ( o un no-
residuo) de todo primo que tomado positivamente sea un residuo ( o un
no-residuo) de p. Si p es de la forma 4n + 3, -p tiene la misma propiedad.

Los paréntesis del teorema indican que el resultado puede
leerse excluyendo el contenido de los paréntesis o incluyéndolos,
sustituyendo a la expresión inmediatamente anterior. O dicho
de un modo menos técnico: existe una reciprocidad entre el par de
congruencias x =q (mod p) y x =P (mod q), en la que tanto
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p como q son primos. O sea, si podemos verificar la primera
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congruencia (x = q (modp)), entonces se verifica la segunda con-
gruencia (x =p(modq)) necesariamente; y si la primera no es
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cierta, la segunda tampoco lo es. Lo cual significa que ambas son
ciertas o ambas son falsas. Hay una excepción, y es que tanto p
como q den de resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso
una, y solo una, de las congruencias es cierta.
La demostración de Gauss empieza con consideraciones
heurísticas y prueba la ley para determinados números primos.
Después procedió, por inducción, a probar el caso general. Esta
demostración de Gauss es muy laboriosa y trata de manera se-
parada ocho diferentes casos. Peter Gustav Dirichlet, que fue
alumno del matemático alemán y uno de los mayores estudiosos
de este libro, simplificó la demostración, reduciendo el número de
casos a dos. Gauss termina la sección con otros resultados que se
deducen de su teorema. Solo por esta demostración Gauss ya de-
bería ser considerado como uno de los matemáticos más impor-
tantes de la época. Pero habría más, y dentro de la misma obra.
La sección V es la parte central del libro. Está dedicada a las
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expresiones del tipo F= ax + 2bxy + cy , donde a, b, e son números

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