Page 60 - 11 Gauss
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La sección termina con la demostración del teorema funda-
mental de las congruencias polinómicas. Una congruencia de
gradom,
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a X"' + a X"'º + ... +a X + b '"' o (mod p)
m 1n-l 1 '
cuyo módulo p es un primo que no divide a,,., no puede resolverse
más que de m maneras diferentes o no puede tener más de m
raíces no congruentes con relación a p.
La sección III, titulada «De residuis Potestatum» ( «El resto
de las potencias»), aborda los residuos cuadráticos y de potencias
superiores. Dados m y n números enteros, donde m no es divisible
por n, si existe un número x tal que x2 = m (mod n), decimos que
m es un residuo cuadrático de n; en caso contrario, decimos
que m es un no-residuo cuadrático de n. Por ejemplo: 13 es resi-
duo cuadrático de 17, pues la ecuación x = 13 (mod 17) tiene
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como soluciones x = 8, 25, 42, ya que 8 = 64, que dividido por 1 7
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da 13 de resto, 25 = 625, que dividido entre 17 da, de nuevo, resto
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13 y lo mismo ocurre con 42 = 1 764.
La base de la sección es la demostración del pequeño teorema
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de Fermat que dice nP- a 1 (mod p ), donde p es un primo que no
divide a n. O sea, que si p es un número primo que no divide a n,
entonces nP- -1 es siempre divisible por p. Para el caso n = 8 y
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p = 5, tenemos que 8 -1 = 4 095, que es divisible por 5. Para este
resultado Gauss usó la fórmula del binomio de Newton adaptada a
congruencias. Como consecuencia obtiene también el teorema de
Wilson, que dice que dado un número primo p, entonces se tiene:
1- 2 .3 ... . • (p-1) = (p-1) ! •-1 (modp).
O sea, el producto de todos los números menores que un nú-
mero primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible
por dicho número. Si por ejemplo escogemos 7, entonces 6! = 720,
y 721 es divisible por 7.
Esencialmente las tres primeras secciones constituyen una
introducción sistemática a la teoría de números y preparan el te-
rreno para las secciones IV y V.
El resultado central de la sección IV es la conocida como ley
de reciprocidad cuadrática. El teorema (como conjetura) fue
60 «DISQUISITIONES ARITHMETICAE»
