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Además, la ventaja de esta notación es que recuerda la forma
en que escribimos las ecuaciones algebraicas. Trata la divisibi-
lidad aritmética, cuya descripción puede ser engorrosa, con una
breve notación y permite sumar, restar y multiplicar congruen-
cias, con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener
otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruen-
cias: ax+b =c (mod m).
Como colofón a las dos primeras secciones, Gauss aplicó
estos métodos a problemas históricos como el cálculo de la céle-
bre función cp de Euler (también llamadafunción indicatriz de
Euler). La función cp (N) se define como el número de enteros po-
sitivos menores o iguales a N y coprimos con N. En matemáticas
dos números se dicen coprimos si no tienen factores primos co-
munes, es decir, su máximo común divisor es l. Por ejemplo 9 = 3 2
es coprimo con 1 O= 5 · 2, y habría que contarlo a la hora del cálculo
de cp (10). El conjunto cp (10) tiene por tanto cuatro elementos
11, 3, 7 y 9) y, en consecuencia, cp(lO) =4.
Gauss dio una fórmula general para el cálculo de cp(N). Si
hacemos la descomposición de Nen primos p , p •.. p" se obtiene
1 2
N = p¡'\ p;" 2 • ... • p;;", donde los pi son primos y m i son sus multi-
plicidades, y la fórmula queda:

cp( N) = N . P1 - 1. P2 - 1 .. .. . Pn - l.
Pi P2 Pn

Aplicando la fórmula a N = 10,

2 - 1 5 - 1
cp(lO) = 10 · - - · - - = 4,
2 5

como era de esperar.
La fórmula depende de los primos en que se descompone N,
no de sus multiplicidades. En el caso de N= 180, tenemos que
2
2
180 = 2 -3 -5, por lo que
2 3 5
cp(l80) = 180 · - l. - l. -l = 48.
2 3 5

«DISOUISITIONES ARITHMETICAE» 59