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El valor mayor que tienen esos cocientes para la función v
(cercanos a 2 mientras para la funGión s ronda el valor 0,5) pone
de manifiesto lo que ya se apreciaba en la primera tabla, donde se
mostraba que la función v varía cerca de 1 más bruscamente que
la función s. Ahora bien, nos interesa el valor del cociente
f(a+h) - f(a)
h
justo cuando h = O, es decir, cuando el número a+ h coincide con
a. A ese valor lo llamaremos derivada de f en a y, siguiendo al
matemático ítalo-francés Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813),
lo indicamos conf'(a). Como podemos comprobar, el valor de ese
cociente es 0/0, o sea, un sinsentido.
Pero ese resultado absurdo es solo aparente, pues como
muestra la tabla anterior para nuestras funciones s( t) = Ji y
2
v(t) = t , cuando hes pequeño aunque distinto de cero, ambos
cocientes,
s(l+h)-s(l) v(l+h) - v(l)
h y h '

tienen perfecto sentido y se parecen a sendos números: 0,5 para
2
la función s(t) = Ji, y 2 para la función v(t) = t • Un poco más ade-
lante veremos que, efectivamente, esos valores se corresponden
con las derivadas de ambas funciones en 1: s' (1) = 0,5, v' (1) = 2.
Ese cociente de cero entre cero que se obtiene al definir una
derivada fue, sin embargo, la dificultad con la que se encontraron
los científicos del siglo XVII, y anteriores, cada vez que querían
calcular, por ejemplo, la tangente a una curva, o la velocidad ins-
tantánea conocido el espacio recorrido por un cuerpo en movi-
miento.
Téngase en cuenta que, antes de que el cálculo infinitesimal
estuviera listo a finales del siglo XVII, solo habían podido ser estu-
diados los movimientos más sencillos: el movimiento uniforme, es
decir, cuando el espacio recorrido es proporcional al tiempo y,
por tanto, la velocidad es constante y no hay aceleración; y el
movimiento uniformemente acelerado, o sea, cuando el espacio
recorrido es proporcional al tiempo al cuadrado y, por tanto, la

MATEMÁTICO Y APRENDIZ DE BRUJO 85