Page 89 - 02 Newton

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a los t segundos se mueve con una velocidad de t metros por
segundo? Esta es la función v(t) = t que hemos visto anterior-
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mente, y la respuesta, por tanto, viene dada por J;t dl,. El pro-
blema ahora es cómo se calcula esa integral. Según la interpreta-
ción de la integral como un área, esa integral se corresponde con
el área encerrada por un fragmento de la función, que, por cierto,
tiene forma de parábola. La definición precisa de integral -sin
apelar al sentido geométrico de área- es una cuestión delicada
desde el punto de vista del rigor lógico.
En efecto, si observamos la figura 1, podemos comprobar que el
área está compuesta por los segmentos verticales de longitudf(t),
donde el número t toma todos los valores entre a y b. De alguna
forma, el dibujo sugiere que el área es la suma de esos segmentos;
ahora bien, esos segmentos, por ser fragmentos de línea recta, tienen
una anchura igual a O, por lo que parecería que la suma de todos ellos
sería incapaz de generar área alguna De nuevo nos encontramos con
una cantidad infinitesimal, la anchura de esos segmentos, los cuales
hay ahora que sumar. En la notación que inventó Leibniz para la
integral aparece de modo simbólico esta consideración del área li-
mitada por una curva como una suma de infinitésimos: según la :fi-
gura 1, cada segmento de los que forman el área tiene una altura de
f(t) y, según Leibniz, una anchura infinitesimal que escribimos como
dt; el área de estos segmentos será su base por su altura, o seaf(t) dt,
y el área total que queremos calcular será su suma: f f(t)dl,. Qué
sentido había que darle a esa suma es algo que ni Leibniz, ni tampoco
Newton, padres del cálculo infinitesimal, llegaron a explicar jamás.
Como decíamos antes, el cálculo infinitesimal lo completa un
puente entre derivadas e integrales. Es el teorema fundamental
del cálculo, que establece que derivadas e integrales son procesos
inversos. Más concretamente, si queremos calcular la integral
Í:f(t)dl,, el teorema fundamental del cálculo establece que basta
calcular una función F tal que F '( t) = f ( t) para cada número t entre
a y b; entonces f !J(t)dl,=F(b)-F(a). (Hay que suponer alguna
condición más sobre la función!, como la continuidad, cuyo deta-
lle técnico no es necesario precisar más aquí.)
Veamos un ejemplo: el teorema fundamental del cálculo con-
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vierte en un ejercicio fácil calcular J ! dl,. Esa integral es suma-
t

MATEMÁTICO Y APRENDIZ DE BRUJO 89