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hecho, la proposición 23 fue un resultado auxiliar para llegar a
dicha cuadratura; es decir, puede considerarse como una herra-
mienta de cálculo para sus propósitos. El rigor con el que trata el
asunto no tuvo paragón hasta la época de Newton y Leibniz. La
proposición 23 dice:

Si se disponen sucesivamente magnitudes en la razón de cua-
tro a uno, todas las magnitudes más la tercera parte de la
menor sumadas en una sola serán cuatro tercios de la mayor.

Veámoslo de un modo más comprensible; aunque Arquíme-
des lo presenta para segmentos, la idea también es válida para
áreas. Se toma un cuadrado y se divide en cuatro partes iguales.
Se suma el cuadrado y su cuarta parte. La cuarta parte se divide a
su vez en cuatro, sumando cada vez una de las partes obtenidas,
y así sucesivamente tanto como se desee. Luego se realiza la suma
de las superficies del cuadrado y todas las cuartas partes resultan-
tes más la tercera parte de la división más pequeña. El resultado,
se divida las veces que se divida, es siempre 4/3 del cuadrado ori-
ginal (véanse las figuras 12 y 13 en la página siguiente; en la figura
12 se realiza una sola división, y en la figura 13 se llevan a cabo dos
divisiones).
Efectivamente, como puede observarse el resultado siempre
es A+½ A, es decir, la suma de todas las sucesivas divisiones es
1/3 del cuadrado mayor. A esto fue a lo que pudo llegar Arquíme-
des de manera intuitiva, así, si se divide el cuadrado n veces (no
realizó la suma infinita, sino que expresó que podría realizarse
tantas veces como se quisiera):

A+[lA+-1.A+···+l.l..A] = A+lA = iA.
4 4 2 3 4" 3 3
En la actualidad cualquier estudiante de secundaria podría
realizar esta suma por sí mismo mediante el concepto de progre-
sión geométrica: una sucesión de elementos en la que cada uno se
obtiene del anterior multiplicado por un número constante lla-
mado razón. En efecto, el término general de una progresión
geométrica es: a n = ªi · r(n-l)_

EL DEFENSOR DEL CIRCULO 103