Page 102 - 15 Arquimedes

- Asume que el espacio comprendido entre el triángulo y la
curva parabólica puede ser Gompletado mediante la com-
posición de triángulos a partir de las nuevas cuerdas en un
proceso reiterativo.

- A partir de esta idea llega a demostrar que el área de la
parábola no puede ser mayor de 4/3 el área del triángulo
inicial, pero tampoco puede ser menor de 4/3 el área de
dicho triángul°4 Es imposible tanto ~'ª > f ~ángulo
COmO ,\arábola < 3 ~ángulo·

_.:.. Así que, por reducción al absurdo, se tiene la relación
,\arabo,a = J ~ángulo, como se quería demostrar.

SUMANDO HASTA CASI EL INFINITO

El testimonio más antiguo que puede considerarse como un ante-
cedente del cálculo infinitesimal descansa sobre la figura de Zenón
de Elea (490 a.C.-430 a.C.). Este filósofo griego advirtió con la fa-
mosa paradoja de la flecha que no tenía sentido considerar un
tiempo infinitamente divisible a la par que un espacio constituido
de indivisibles, es decir, de partes que no pueden ser divididas a
partir de cierta cantidad. El procedimiento seguido ( dividir reite-
radamente un segmento por su mitad) significó un precedente en
los trabajos de los matemáticos griegos de los siguientes siglos.
Arquímedes acarició la idea de límite en varias ocasiones
cuando aplicaba el método de exhaución. Una de ellas se encuen-
tra contenida durante el recorrido del tratado Sobre la cuadratura
de la parábola. Se trata de una suma de infinitos términos que da
como resultado un número finito. Si bien Arquímedes no llegó a
sumar todos los términos, sí pudo dar un resultado satisfactorio
a dicha suma de manera intuitiva. Esta suma se encuentra en la
proposición 23, la penúltima del tratado, justo antes de la propo-
sición en la que se presenta por segunda vez en el texto la cuadra-
tura de la parábola. Apoyándose en este resultado pudo demostrar
la cuadratura de la parábola mediante reducción al absurdo. De

102 EL DEFENSOR DEL CÍRCULO