Page 100 - 15 Arquimedes

LA CUADRATURA DE LA PARÁBOLA

En el tratado Sobre la cuadratura de la parábola Arquímedes
presenta varios teoremas mecánicos que, según apunta en el
preámbulo, no habían sido estudiados antes. Es decir, él mismo
los había planteado. El más reproducido en la literatura divulga-
tiva es el de la cuadratura de la parábola (proposición 24):

El área de la superficie comprendida entre una parábola
y una recta que la corta es 1/3 superior al área del trián-
gulo cuya base es la recta y de igual altura a la parábola
(figura 10).

Su intención era, por tanto, compartir sus descubrimientos, y
qué mejor forma de hacerlo que enviándolos a los estudiosos de
Alejandría. Por esta razón se lo remitió a Dositeo de Pelusio,
siendo la primera de las obras que compartió con él tras la muerte
de Conón de Samas. El tratado Sobre la cuadratura de la pará-
bola se divide en 24 proposiciones. En las cinco primeras intro-
duce algunas propiedades de la curva; de la proposición 6 hasta la
16 realiza un estudio mecánico de la parábola, basándose en las
leyes de la palanca. En la proposición 1 7 presenta por primera vez
el resultado de la cuadratura de la parábola mediante su método
mecánico y en las siguientes proposiciones utiliza el método de
exhaución para acabar demostrando dicha cuadratura (proposi-
ción 24). Así que Arquímedes realiza una demostración de la cua-
dratura mediante el método mecánico, pero tras no considerarlo
riguroso, encontró el mismo resultado con métodos geométricos
clásicos, o sea, por exhaución. Es interesante señalar que la cua-
dratura de la parábola constituye el primer caso conocido en la
obra de Arquímedes en el que hizo uso del método mecánico.
Existe una tercera demostración de la cuadratura, contenida en el
tratado El método sobre los teoremas mecánicos.
Como se ha dicho, para demostrar la proposición 24 empleó el
método de exhaución (figura 11). Comienza dando por conocido
el resultado, es decir, afirma que el áreaAP de la parábola es 4/3 el
área Ar del triángulo ABC (Ap =½A¡.). Los pasos que sigue son:

100 EL DEFENSOR DEL CÍRCULO