Page 96 - 15 Arquimedes

Esa forma de trabajar es común
en toda la obra de Arquímedes,
usar proposiciones auxiliares
que sirvan de apoyo a otras de
nivel superior. De hecho, él
mismo adelanta en el preámbulo
los cuatro resultados más impor-
tantes, considerándose el resto
como auxilio para ellos. Tras las
primeras once proposiciones
realiza una lista de siete defini-
ciones, la primera de las cuales
muestra, precisamente, la defini-
ción de la espiral de Arquímedes
que se ha dado anteriormente.
En las proposiciones 12 a la 20
estudia las propiedades de las
tangentes a la espiral y mide ade-
Tras la primera más la longitud de los giros de la misma, para compararlos con los
vuelta, la espiral
cubre un área que círculos que la componen. En esa parte de la obra muestra cómo
es igual a un
tercio del área calcular la tangente a la espiral en un punto, aunque no dejó es-
encerrada por la crito cuál fue su análisis para llegar a dicha conclusión. Final-
circunferencia que
envuelve a dicha mente, de la proposición 21 a la 28 estudia el área de la curva en
espiral. giros sucesivos, que son los resultados que más han interesado a
la comunidad investigadora. Dada la dificultad del tratado, nos
quedamos solo con una de las proposiciones, la número 24:

El área barrida por la espiral en su primera vuelta equi-
vale a la tercera parte del área del círculo que la envuelve.

Arquímedes demostró este resultado mediante el método de
exhaución (véase la figura): dividiendo el área de la espiral en pe-
queñas superficies de secciones circulares, realizando las sumas
pertinentes y, por reducción al absurdo, concluyendo que no puede
ser mayor ni menor a un tercio del círculo, o, lo que es lo mismo,
el área de la primera vuelta de la espiral es exactamente 1/3 del
círculo que la circunscribe.

96 EL DEFENSOR DEL CÍRCULO