Page 93 - 15 Arquimedes

Por tanto: VE= 4 Ve- Es decir, el volumen de una esfera de radio
r equivale al volumen de cuatro conos de base r y altura r . Con
otras palabras, para rellenar por completo una esfera de radio r
con 4 litros de agua, necesitaremos 4 conos de radio r y altura r
rellenos por completo con l litro de agua cada uno.
Como corolario a la proposición 34 Arquímedes llegó a la con-
clusión comentada al principio, válida para volúmenes y áreas:

La superficie de la esfera es 3/2 la superficie de un cilin-
dro que tiene por base el círculo máximo de la esfera y
por altura su diámetro (figura 6).

Para calcular la superficie del cilindro, puede entenderse
como la sun1a de la superficie lateral más las dos tapas. La superfi-
cie lateral es un rectángulo de base 2nr y altura 2r; el área será,
2
por tanto, 4nr .
Por otra parte, las dos tapas son círculos de radio r, de modo
que el área de cada uno será nr. Sumando el área del lateral más
2
dos veces el área de una de las tapas resultaAcilindro = 6nr • Lo que
se obtiene es que el área de la superficie del cilindro equivale a seis
veces el área de un círculo del mismo radio. Puesto que una esfera
equivale a cuatro círculos, seis círculos equivaldrán a una esfera y
media. Atendiendo a estos resultados, ne-
cesitaríamos la misma cantidad de tinta
para pintar seis círculos de radio r, la su- FIG. 7
perficie de una esfera y media de radio ro
un cilindro completo de base r y altura 2 r.
Hay que añadir que la relación obte-
nida también se aplica a los volúmenes, es
decir, el volumen del cilindro es 3/2 el vo-
lumen de la esfera inscrita en él (figura 7).
De esta manera, una forma de entender la
razón es que si en una esfera cupiesen 2
litros de agua, en el cilindro correspon-
diente cabrían 3 litros. Por eso este resul-
tado a veces se presenta diciendo que la
razón del cilindro a la esfera es de 3 a 2.

EL DEFENSOR DEL CÍRCULO 93