Page 91 - 15 Arquimedes

áreas. Sobre la esfera y el cilindro es un tratado formado por dos
libros escritos en momentos distintos de su vida y por diferentes
motivos. El Libro I consta de 44 proposiciones, seis definiciones y
cinco postulados. Algunas proposiciones, además, tienen impor-
tantes corolarios; de hecho, la relación comentada entre el cilin-
dro y la esfera está presentada en forma de corolario. El primer
libro sirve de soporte instrumental al segundo, el cual es mucho
más corto (solo tiene seis proposiciones) y está enfocado a res-
ponder algunas preguntas realizadas por Dositeo, a quien está di-
rigida la obra. Son destacables dos proposiciones del primero que
conducirian a Arquímedes a la demostración del enunciado ante-
rior. Se trata de las proposiciones 33 y 34:

Proposición 33. La superficie de la esfera es cuatro ve-
ces la superficie del círculo máximo de dicha esfera.

Esta proposición (figura 4) se interpreta del siguiente modo
intuitivo. Si sumamos cuatro veces el áreaAcM del círculo máximo
2
(ACM = nr ) resulta ser igual al área AE de la superficie de toda la
2
esfera (AE = 4 nr ). Es decir, haría falta la misma cantidad de tinta
para pintar la superficie de la esfera que la superficie de los cuatro
círculos.

Proposición 34. El volumen de la esfera es cuatro veces
el volumen de un cono que tiene por base el círculo má-
ximo de la esfera y por altura su radio.

En la notación algebraica actual es inmediato probar esta razón
entre volúmenes (figura 5). El volumen Ve de un cono de radio r y
altura r es
1 3
Ve =-nr,
3
mientras que el volumen VE de una esfera de radio r es

4 3
VE =-nr.
3

EL DEFENSOR DEL CÍRCULO 91