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dodecágono (figura 2). De esta manera, el valor del área del cír-
culo está encerrado entre dos valores más cercanos, y se afina
más el cálculo, puesto que los valores de las áreas de los dos polí-
gonos se parecerán más. Arquímedes siguió duplicando polígonos
hasta llegar a uno de nada menos que ¡96 lados! Esto le permitió
demostrar que el valor del área del círculo está comprendido entre
3+ 10/71 y 3+ 1/7:

La longitud del círculo es el triple del diámetro y lo ex-
cede en menos de 1/7 pero en más de 10/71. (Sobre la
medida del círculo, proposición 3):

10
3 + < Ac < 3 + I_, es decir, 3,1408 <A <3,14286.
71 7 e
Por tanto, el área de un círculo de radio la unidad es de 3,14
unidades de superficie, con una precisión de dos decimales, tal
como vimos antes. Además, como Euclides había demostrado que
el área de un círculo era proporcional al cuadrado de su diámetro,
2
se deduce la aproximación: A ~ 3, 14 r • Es importante señalar que
Arquímedes sabía que este no era el valor real, pues al acotar el
área entre dos valores era consciente de que estaba llevando a
cabo una aproximación.

LA CIRCUNFERENCIA ENMARCADA

Otra demostración interesante que apa-
rece en el tratado Sobre la medida del
círculo es que la razón entre el área de
una circunferencia y el área del cua-
drado circunscrito en ella es 11/14. En
este contexto, de nuevo se obtiene para
n el valor aproximado de 3,14. Estudie-
mos a continuación la validez de esta
demostración. En primer lugar, fijémo-
nos en la construcción geométrica de la
figura de la derecha.

EL DEFENSOR DEL CÍRCULO 87