Page 62 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

kompleks, atau menggunakan grup permutasi untuk memecahkan masalah

kombinatorial yang rumit.
Pendekatan kreatif ini memungkinkan para matematikawan untuk menemukan

pola, membuat generalisasi, dan membangun teori baru yang dapat diaplikasikan
dalam berbagai konteks, mulai dari fisika hingga ilmu komputer. Dengan demikian,

memahami grup tidak hanya memperkaya pengetahuan matematika, tetapi juga
melatih kemampuan berpikir kreatif yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang

ilmu dan kehidupan sehari-hari.

Definisi 1
Suatu grup 〈 ,∗〉 adalah suatu himpunan dengan operasi biner (∗) pada , sedemikian hingga

memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1) Operasi (∗) closure (tertutup)
2) Operasi (∗) asosiatif

3) Terdapat suatu unsur dalam , sedemikian hingga ∗ = ∗ = untuk setiap ∈ , unsur

disebut suatu unsur identitas dalam grup .

4) Untuk setiap ∈ terdapat unsur −1 ∈ , sedemikian hingga ∗ −1 = −1 ∗ = . Dimana
−1
disebut invers dari .

Atau suatu grup dengan operasi biner (∗) dituliskan dengan simbol 〈 ,∗〉,

jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1) ∗ = ∈ , ∀ , ∈
2) ∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ , ∀ , ∈

3) ∃ ∈ ∋ ∗ = ∗ = ∈

4) ∀ ∈ , ∃ ∈ ∋ ∗ = ∗ =
1
1
1
✍ Contoh 5:
Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat ℤ merupakan grup dengan operasi

〈ℤ, +〉.

Penyelesaian
1) Akan dibuktikan tertutup

Ambil sebarang unsur , ∈ ℤ
Karena , ∈ ℤ maka + ∈ ℤ (terbukti tertutup)

2) Akan dibuktikan asosiatif

56