Page 64 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

(3 × 5) × 7 = 3 × (5 × 7)
7 × 7 = 3 × 3

1 = 1 (terbukti asosiatif).
3) Akan dibuktikan terdapat unsur identitas

Terdapat unsur identitas yaitu = 1.

Sebab × 1 = .
4) Akan dibuktikan mempunyai invers

1 −1 = 1 sebab 1 × 1 =

3 −1 = 1 sebab 3 × 3 =
5 −1 = 1 sebab 5 × 5 =

7 −1 = 1 sebab 7 × 7 =

Terbukti bahwa 〈 , 〉 merupakan sebuah grup.
8

✍ Contoh 7:

Buktikan bahwa himpunan matriks 2 × 2, dimana | | ≠ 0 dengan operasi
perkalian matriks membentuk suatu grup.

Penyelesaian:
1) Akan dibuktikan operasi perkalian matriks 2 × 2 adalah tertutup

Ambil sebarang unsur = [ ] , = [ ] , = [ ], dimana

, , ∈ 2×2 .

+ +
[ ] × [ ] = [ ]
+ +
Terbukti bahwa × ∈ 2×2 .
2) Akan dibuktikan operasi perkalian matriks 2 × 2 adalah asosiatif

Ambil sebarang unsur = [ ] , = [ ] , = [ ], dimana

, , ∈ 2×2 .

( × ) × = × ( × ).

([ ] × [ ]) × [ ] = [ ] × ([ ] × [ ])

+ + + +
= [ ] × [ ] = [ ] × [ ]
+ + + +
+ + + + + +
[ ]
+ + + + + +

58