Page 68 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

Karena maka terdapat −1 ∈ sehingga ∗ −1 = .

−1
Diperoleh ∗ = ∗ ⟺ ( ∗ ) ∗ −1 = ( ∗ ) ∗
⟺ ∗ ( ∗ ) = ∗ ( ∗ )
−1
−1
⟺ ∗ = ∗

⟺ = .

Teorema 2
Jika 〈 ,∗〉 grup dan , ∈ maka ∗ = dan ∗ = mempunyai solusi tunggal di .

Bukti:

i) Akan dibuktikan bahwa ∗ = mempunyai penyelesaian

〈 ,∗〉 suatu grup dan ∈ maka ada −1 ∈ .
∗ =

−1 ∗ ( ∗ ) = −1 ∗
( −1 ∗ ) ∗ = −1 ∗

∗ = −1 ∗

= −1 ∗
−1 ∈ dan ∈ maka −1 ∗ ∈ (sifat tertutup dari suatu grup). Sehingga

−1 ∗ merupakan penyelesaian dari persamaan ∗ = .
ii) Selanjutnya dibuktikan tunggalnya penyelesaian ∗ =

Misalkan persamaan ∗ = mempunyai penyelesaian dan .
1
2
Berarti ∗ = dan ∗ = , sehingga ∗ = ∗ .
2
1
1
2
Jadi persamaan ∗ = mempunyai penyelesaian tunggal. Akan dibuktikan bahwa
∗ = mempunyai penyelesaian tunggal
1) Akan dibuktikan bahwa ∗ = mempunyai penyelesaian
〈 ,∗〉 suatu grup dan ∈ maka ada −1 ∈ .

∗ =

−1
( ∗ ) ∗ −1 = ∗
−1
∗ ( ∗ ) = ∗
−1
−1
∗ = ∗
= ∗
−1
−1 ∈ dan ∈ maka ∗ −1 ∈ (sifat tertutup dari suatu grup).

−1
Sehingga ∗ merupakan penyelesaian dari persamaan ∗ = .

62