Page 67 - E-Modul Strukbar Berbasis Case Method

(− ) −1 =

4
Terbukti bahwa = 〈 = 1, 〉 merupakan suatu grup.

Definisi 2

Grup disebut grup Abelian atau komutatif jika berlaku ∗ = ∗ ∀ , ∈ .

✍ Contoh 4:

Misalkan grup Abelian. Tunjukkan bahwa: ( ) = , ∀ , ∈ .
2
2 2
Penyelesaian:
Abelian artinya = , ∀ , ∈ .

=
( ) = ( )

2
2
( ) =
2 2
2
( ) = (terbukti Abelian)

Definisi 3
( , +) merupakan grup hingga, sedangkan ( , +) merupakan grup tak hingga.

1. Teorema-teorema dasar tentang grup

Teorema 1

Diketahui 〈 ,∗〉 grup dan , , ∈ .
1) Jika ∗ = ∗ maka = (hukum kanselasi kiri)

2) Jika b ∗ = ∗ maka = (hukum kanselasi kiri)

Bukti:
i) Misalkan ∗ = ∗ dengan , , ∈

Karena maka terdapat −1 ∈ sehingga ∗ −1 = .

Diperoleh ∗ = ∗ ⟺ −1 ∗ ( ∗ ) = −1 ∗ ( ∗ )
⟺ ( −1 ∗ ) ∗ = ( −1 ∗ ) ∗

⟺ ∗ = ∗

⟺ = .
ii) Misalkan ∗ = ∗ dengan , , ∈

61