Page 8 - HS 2 Combinatieleer

Combinatieleer, kansrekening en verklarende statistiek

2.3 Herhalingscombinaties (uitbreidingsleerstof)

Voorbeeld:
Op hoeveel manieren kan je 10 identieke bollen verven als je hiervoor de keuze hebt uit 4 verschillende
kleuren: rood, groen, blauw en paars.

Oplossing:
Je moet dus 10 keer een keuze maken uit de 4 kleuren: k = 10 en n = 4, k > n. Dezelfde kleur kan hierbij
meerdere keren voorkomen m.a.w. het is een keuze met herhaling.
Enkel de hoeveelheden bollen van elke kleur spelen een rol dus heeft de volgorde waarin je ze legt geen
belang. Dit is dus duidelijk een voorbeeld van een herhalingscombinatie van k = 10 elementen (de
ballen) uit een totaal van n = 4 elementen (de kleuren).

Wij bepalen nu het aantal mogelijke keuzes om 10 bollen te verven in 4 verschillende kleuren.
Om dit in te zien beschouwen we een mogelijk geval:

B R G G P R B G R P
Omdat de volgorde geen rol speelt kunnen we de bollen die met de zelfde kleur geverfd zijn samen
plaatsen.
R R R G G G G B P P

Er zijn dus:
k1 = 3 bollen met kleur 1 (Rood)

k2 = 4 bol met kleur 2 (Groen)
k3 = 1 bol met kleur 3 (Blauw)
k4 = 2 bollen met kleur 4 (Paars).

Merk op dat k4 vastligt door de aantallen k1, k2 en k3, er zijn immers slechts k = 10 ballen in totaal dus
moet k1 + k2 + k3 + k4 = k = 10.
Andere mogelijke keuzes zijn:

R R R G G G B B P P
R R G G G B B B P P
R R R R R R R B B P

• Als we in bovenstaand voorbeeld na de groep bollen met kleur R R R R dus, een verticale streep
als een soort tussenschot invoeren dan staat deze op de 3 + 1 = k1 + 1 = 4e positie.
t
De positie van deze eerste streep bepaalt dus volledig k1, het aantal bollen met kleur Rood. e
n
R R R | G G G G | B |P P .
o
• Plaatsen we ook na de groep bollen met kleur Groen een verticale streep, dan staat die streep l
e
op positie 3 + 1 + 4 + 1 = k1 + 1 + k2 + 1. h
De positie van deze tweede streep bepaalt volledig k2, het aantal bollen met kleur Groen, want t
a
k1 kennen we al.
m
• Plaats na de groep met kleur Blauw een streep, dan staat die streep op positie . w
3 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = k1 + 1 + k2 + 1 + k3 + 1. w
De positie van deze derde streep bepaalt volledig k3, dit is het aantal bollen met kleur Blauw, w
want k1 en k2 kennen wij al.

© 2023 Ivan De Winne ivan@mathelo.net 8