Page 12 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

2.2 Turunan Parsial Orde Tinggi
Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua

peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk
memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f.

2
2

= ( ) = , = ( ) =

2 2
2
2

= ( ) = , = ( ) =

Turunan-turunan parsial dari fungsi dengan empat peubah atau lebih dapat didefinisikan
dengan cara yang sama. Turunan-turunan parsial, seperti f xy dan f xyz yang menggunakan

pendiferensialan terhadap lebih dari satu peubah disebut turunan parsial campuran (mixed

partial derivative).

Contoh:

) xy −
3. Misalkan ( y = 2 sin(xy ) , tentukan f dan f .
f
, x
xx yy
Penyelesaian:

) xy −
• Turunan fungsi ( y = 2 sin(xy ) terhadap x adalah
f
, x

2
) xy −
f (x , y = sin(xy )
f   (xy − sin(xy ))
2
2
f (x , ) y = = = y − y cos(xy )
x x  x 
• Turunan parsial kedua terhadap x adalah
f  x =  (y − y cos(xy )) = y 2 sin(xy )
2
x  x 
) xy −
• Turunan fungsi ( y = 2 sin(xy ) terhadap y adalah

f
, x

2
=
f (x , y ) xy − sin(xy )
2
f   (xy − sin(xy ))
f y (x , ) y = y  = y  = 2xy − x cos(xy )

• Turunan parsial kedua terhadap y adalah

f   2 ( xy − x cos(xy ))
y = = 2x + x 2 cos(xy )
y  y 

8