Page 12 - 수학(하)

) 2 부분집합의 성질 C
B
,
세 집합 ,AB C 에 대하여 A 1 B 이고 B 1 C 이면 A
오른쪽 벤다이어그램에서 A 1 C 임을 알 수 있다.
) 3 서로 같은 집합
두 집합 ,AB 의 모든 원소가 같을 때, A 와 B 는 서로 같다고 한다.
유형
,
,
예를 들어 두 집합 A = " , 12 3, B = {|xx 는 3 이하의 자연수 } 에서 B = " , 12 3, 이므로 A = B 이다. 01
) 4 진부분집합 집
1 ]g A 1 B 는 집합 A 가 집합 B 의 진부분집합이거나 A = B 를 뜻한다.
합
2 ]g 집합 A 가 집합 B 의 진부분집합일 때, A 1 B 이고 B 의 원소 중 A 의 원소가 아닌 것이 있다.
,
예를 들어 두 집합 A = " , 12, , B = " , 12 3, 에 대하여 A 1 B 이고 A ! B 이므로 A 는 B 의 진부분집합이다.

. 2 부분집합의 개수
) 1 집합 A 의 부분집합의 개수
,
,
,
,
3
,
,
z
8
집합 A = " , 12 3, 의 부분집합의 개수는 , 1 ! + , ! 2+ , ! 3+ , 1 2, , 1 3, , 2 3, , 1 23, 의 2 = 개이다.
"
"
"
"
,
1 ]g 방법 1 : 세 원소 ,12 3 이 부분집합에 속하는 경우와 속하지 않는 경우의 각각 2 가지이므로
원소의 개수가 3 인 집합 A 의 부분집합의 개수는 2 ## 2 = 2 = 이다.
8
2
3
2 ]g 방법 2 : 조합이용
원소의 개수 0 1 2 3 계
조합식 3 C 0 = 1 3 C 1 = 3 3 C 2 = 3 3 C 3 = 1
3
2 = 8
부분집합 z 1 ! + , ! 2+ , ! 3+ " , 12, , 13, , 23, " , 12 3,
,
,
,
"
"
참고 조합 : 서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고 r 0 # r # ng 개를 택하는 것을 n 개에서
]
r 개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 C r = ! r n - ! n rg ! 와 같이 나타낸다.
n
]
n
따라서 원소의 개수가 n 인 집합 A = " , a 1 , a 2 , a 3 g , a n, 의 부분집합의 개수는 2 이다.
) 2 집합 A 의 진부분집합의 개수
,
집합 A = " , 12 3, 의 진부분집합의 개수는 자기 자신을 제외한 집합의 개수이므로
,
z , 1 ! + , ! 2+ , ! 3+ , 1 2, , 1 3, , 2 3, 의 2 - 1 = 7 이다.
,
,
3
"
"
"
n
1
따라서 원소의 개수가 n 인 집합 A = " , a 1 , a 2 , a 3 g , a n, 의 진부분집합의 개수는 2 - 이다.
) 3 집합 A 의 특정한 원소 k k # ng 개를 반드시 포함하는 집합 A 의 부분집합의 개수
]
,
,
,
,
집합 A = " , 12 34 5, 의 원소 ,12 3 을 반드시 포함하는 집합 A 의 부분집합의 개수는
,
,
,
,
,
2
,
,
"
"
" , 12 3, , 1 23 , 4, , 12 3 , 5, , 1 23 , , 45, 의 2 5- 3 = 2 = 4 이다.
"
따라서 원소의 개수가 n 인 집합 A = " , a 1 , a 2 , a 3 g , a n, 의 특정한 원소 k 개를 반드시 포함하는 집합 A 의
부분집합의 개수는 특정한 원소 k 개를 미리 택하고, 나머지 원소의 부분집합의 개수와 같으므로 2 n- k 이다.
) 4 집합 A 의 특정한 원소 k k # ng 개를 반드시 포함하지 않는 집합 A 의 부분집합의 개수
]
,
,
,
,
집합 A = " , 12 34 5, 의 원소 ,12 3 을 반드시 포함하지 않는 집합 A 의 부분집합의 개수는
2
, z ! 4+ , ! 5+ , " , 45, 의 2 5- 3 = 2 = 4 이다.
따라서 원소의 개수가 n 인 집합 A = " , a 1 , a 2 , a 3 g , a n, 의 특정한 원소 k 개를 반드시 포함하지 않는
집합 A 의 부분집합의 개수는 특정한 원소 k 개를 제외한 부분집합의 개수와 같으므로 2 n- k 이다.
) 5 집합 A 의 특정한 원소 k 개는 반드시 포함하고 특정한 원소 m 개는 반드시 포함하지 않는 집합 A 의 부분집합의 개수
,
,
,
,
집합 A = " , 12 34 56, 의 원소 ,12 를 반드시 포함하고, 원소 ,56 을 반드시 포함하지 않는
,
2
,
,
,
2
"
"
집합 A 의 부분집합의 개수는 12, , 12 , 3, , 12 , 4, , 12 , , 34, 의 2 6-- 2 = 2 = 4 이다.
"
"
따라서 원소의 개수가 n 인 집합 A = " , a 1 , a 2 , a 3 g , a n, 의 특정한 원소 k 개는 반드시 포함하고,
특정한 원소 m 개는 반드시 포함하지 않는 집합 A 의 부분집합의 개수는 특정한 원소 k + m k + m # ng 개를
]
제외한 부분집합의 개수와 같으므로 2 n-] k+ mg = 2 n-- m 이다.
k
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