Page 10 - 수학(하) 풀이

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2
1단계 xx - 2 = , x - ax + a = 0+ 이어야 한다. 1단계 [ 어떤 실수 x 에 대하여 p 이다. \ 의 부정은
|
0 1 !
"
주어진 명제가 참이 되기 위해서는 [ 모든 실수 x 에 대하여 ~p 이다. \ 이다.
2
2
1 +
1
0 1 !
]
" | xx - 2 = , x - ax + a = 0+ 이어야 하므로 조건 [어떤 실수 x 에 대하여 x - g 2 ax ! x + 이다.\
2
따라서 x = 를 x - ax + a = 에 대입하면 의 부정인 [모든 실수 x에 대하여 x - g 2 ax = x + 1이다.\
2
0
2
1 +
]
2
2 - 2 a + a = 에서 a = 이다. 가 참인 명제가 되려면
0
4
062 모든 실수 x 에 대하여 x + ] a - 2g x + 1 = x + 이
2
1
2
2
1단계 명제 p $ q 의 역이 참이면 명제 q $ p 가 참이다. 성립해야 하므로 a = 이다.
q
p
명제 p $ 의 역이 참이므로 명제 q $ 가 참이다.
그러므로 Q 1 P 가 성립해야 한다. 067
4 ! Q 이므로 4 ! P 이어야 한다. 1단계 명제 p $ 가 참이면 P 1 Q 이다.
q
2
a = , 4 즉 a = 또는 a =- 이다. 두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
2
2
2
1 ]g a =- 일 때 P = " | xx $ a, , Q = " | x 1 # x # 3 또는 x $ 7,
,
"
P = " , 23 4, , Q = - , 14, 이므로 Q 1 Y P 이다. Q Q
2
2 ]g a = 일 때 P
,
P = " , 23 4, , Q = " , 3 4, 이므로 Q 1 P 이다. 1 3 7 a x
2
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 a = 이다. 명제 p $ 가 참이므로 P 1 Q 에서 a $ 7
q
063 따라서 a 의 최솟값은 7 이다.
1단계 자연수 x 에 대하여 두 조건
[ : p 5 # x # 9\ , qx # 8\의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 068
[
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
P = " , 5678 9, , Q = " , 1 23 4567 8, 이다. 1단계 명제 p $ 가 참이면 P 1 Q 이다.
q
q
따라서 명제 p $ 가 거짓임을 보여 주는 x 의 값은
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
집합 P 에 속하지만 집합 Q 에 속하지 않는 원소인 9 이다.
P = " | x - 4 # x # 6, ,
064 Q = " | x -+ 2 # x # a + 2,
a
q
1단계 명제 p $ ~q 가 참이면 그 대우 q $ ~p 도 참이다. 명제 p $ 가 참이므로 P 1 Q 이다.
,
,
세 조건 ,pq r 의 진리집합을 각각 ,PQ R 라 하면 Q
명제 p $ ~q 가 참이므로 그 대우 q $ ~p 도 참이다. P
C
그러므로 Q 1 P 이고 또한 명제 r $ 가 참이므로
q
a
-+ 2 - 4 6 a + 2 x
R 1 Q 이다. R 1 Q 1 P 이 성립하므로 R 1 P 이다.
C
C
-+ 2 #- 에서 a $ 이고
6
a
4
따라서 명제 r $ ~p 는 항상 참이다.
a + 2 $ 에서 a $ 4 이므로 a $ 이다.
6
6
065 따라서 자연수 a 의 최솟값은 6 이다.
1단계 ~p 는 q 이기 위한 필요조건은
Q 1 P , P 1 Q 이다. 069
C
C
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
1단계 p 가 q 이기 위한 충분조건이면 P 1 Q 이다.
~p 는 q 이기 위한 필요조건이므로
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
C
C
Q 1 P , P 1 Q 이다.
k
P = " | xk # x # + 3, , Q = " | x 3 # x # 10,
C
P = " | xa # x # a + 2, , Q = " | x 5 # x # 9,
p 가 q 이기 위한 충분조건이므로 P 1 Q 이다.
Q C
Q
P
P
5 a a + 2 9 x
3 k k + 3 10 x
C
그러므로 P 1 Q 을 만족시키는 정수 a 의 값은
3 # , kk + 3 # 10 에서 3 # k # 7 이다.
5 # , aa + 2 # , 95 # a # 이므로 ,56 7 이다.
,
7
따라서 실수 k 의 최댓값은 7 이다.
따라서 모든 정수 a 의 값의 합은 5 ++ 7 = 18 이다.
6
09