Page 9 - 수학(하) 풀이

꼼수풀이 등호의 성질 이용 058

0
f x = nx + 4 x n + 2 에서 1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때,
n ]g
a +
b
b
4 n 2 $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
nx = x , x = 4 , x = 일 때 최솟값을 가지므로
2
2
0
f x = nx + 4 x n + 2 에 x = 를 대입하면 a > 0 , b > 이므로 b 4 a b 4 a
2
n ]g
1
4
b =
4 n b a + b ] l a + g 1 + a + b + 4 = a + b + 5
2
f x $ 2 n + 2 + 2 = 4 n + 이다.
n ]g
9
2
f x $ 4 n + 이므로 $ 2 b a # 4 b a + 5 = 4 + 5 = 이다.
n ]g
b 4 a
1 ]
f x + ]g f x + ]g f xg 이때 등호는 a = b 일 때 성립하므로
2
3
3
2
2 =
1
$ ] 4 # + 2 + ]g 4 # + g 4 # + g 30 이다. 1 4
2 + ]
b + ] l a + bg 가 최솟값을 갖도록 하는 ,ab 사이의
a b
1 ]
따라서 f x + ]g f x + ]g f xg 의 최솟값은 30 이다. b 4 a
3
2
2
2
관계식은 a = b , b = 4 a 에서 b = 2 a 또는 b =- 2 a
0
056 그런데 a > 0 , b > 이므로 b = 2 a 이다.
따라서 ,ab 사이의 관계를 그래프로 나타낼 때,
1단계 모든 실수 x 에 대하여 이차부등식 f x > 이면
0
]g
옳은 것은 ①이다.
0
이차방정식 f x = 의 판별식 D 가 D < 이다.
0
]g
059
2
2
2
x + ] k + 4g x + k 2 > - x + x 2 + 에서
0
1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때,
2
2 > 이므로
x 2 + ] k + 2g x + ] k 2 - g 0
a + b $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
b
모든 실수 x 에 대하여 이차부등식이 항상 성립해야 2
4 8 8 a b 8 8 a b 8
2
2 = 의
하므로 이차방정식 x2 + ] k + 2g x + ] k 2 - g 0 ] a + b 2 b g a + b l = 4 + b + a + 16 = b + a + 20
판별식을 D 라 하면 8 a b 8
8
$ 2 b # a + 20 = 2 # + 20 = 36 이다.
2 -
2
2 < 이어야 한다.
D = ] k + g 2 4 ## ] k 2 - g 0 8 a b 8
b
(단 , 등호는 = a , 즉 a = 일 때 성립)
즉 k - 12 k + 20 < 에서 k - 2 ]g k - 10 < , 02 < k < 10 b
0
2
g
]
따라서 구하는 최솟값은 36 이다.
따라서 구하는 정수 k 의 개수는
꼼수풀이 등호의 성질 이용

,
,
,
,
,
, 34 56789 로 7 이다.
4 8 8 a b 8
] a + b 2 b g a + b l = b + a + 20 에서
057 8 a b 8
b
b = a , 즉 a = 일 때 최솟값을 가지므로
1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때, 8 a b 8
0
a + b 식 b + a + 20 에 b = a 를 대입하면
b
2 $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립) 8 a + 8 a + 20 = 36 이다.
1 1 a a
2
A = x + , B =- 에서
x
x 2 x 060
1 1 2
2
2
A = x + 2 = b x - l + 2 = B + 이므로
2
x x 1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때,
0
A B + 2 2 a + b
2
0
1
b
B = B = B + B 이다. 이때 x > 에서 B > 이므로 2 $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
5
A 2 B # 2 x + y 2 = 이므로
B = B + B $ 2 B = 22
x + y 2 5 5 25
2 = $ x # , y 2 $ 2 xy , $ 2 xy 에서
(단 , 등호는 B = , 즉 B = 2 일 때 성립) 2 2 2 4
B
1 4
A $ 이다.
따라서 구하는 B 의 최솟값은 22 이다. 2 xy 25
1 1 x + y 2 1 4 4
꼼수풀이 등호의 성질 이용 x + y 2 = 2 xy = 5 # 2 xy $ 5 # 25 = 5 이다.

1 1 1 1 5 5
2
A = x + , B =- 에서 (단 , 등호는 x = y 2 , 즉 x = 2 , y = 4 일 때 성립)
x
x 2 x 4
A = x + 1 2 = b x - 1 l 2 + 2 = B + 이므로 따라서 구하는 최솟값은 5 이다.
2
2
2
x x 꼼수풀이 등호의 성질 이용

2
A B + 2 2
B = B = B + B 이다. 1 1
x = y 2 일 때, x + 는 최솟값을 가지므로
2 y 2
2
B = , B = 2 , B = 2 일 때
B 주어진 식 x + y 2 = 에 x = y 2 를 대입하면
5
A A = B + 2 에 B = 5 5
B 는 최솟값을 가지므로 B B 2 를 x = 2 , y = 4 이다.
A 2 1 1 1 1 4
대입하면 B = 2 + 2 = 22 이다. 따라서 x + y 2 의 최솟값은 5 + 5 = 5 이다.
2 2 # 4
08