Page 14 - 수학(하) 풀이

101 107
f g xgh 이다.
]
% h g
1단계 합성함수 fg x = ^ ] 1단계 역함수 fg% h - 1 = g - 1 % f - 1 이다.
^
^
1 +
]
% h g
y = ^ fg x = ^ ] gh 2 x - 1 - ]g 2 4 x - g 8 주어진 조건에서 f - 1 ] x = ]g g xg 이고,
f g x = ]
= x 2 - x 8 + 14 = ] x - g 2 6 p x =+ 라 하면 p - 1 ]g x 2
x
2
2 +
2
2
x =- 이다.
]g
%
%
1 # x # 에서 y = ^ fg x ] h g 는 h - 1 ] g f x + g f p x = ^ fp x ] h g 이므로
5
2 = ^ ] gh
x = ]
1
-
%
x = 일 때 최댓값 M = 24 , h x = ^ f ph - 1 ] g p - 1 % f h g
5
x = ^
x ]
] g
2
x =
6
2
x = 일 때 최솟값 m = 을 가진다. = p - 1 f ^ - 1 ] gh p - 1 ^ ] gh g x - 이다.
g x = ] g
따라서 M + m = 24 + 6 = 30 이다. 따라서 h 5 = ]g g 5 - 2 = 2 - 2 = 0 이다.
]
g
102
108
f f x ] gh 이다.
^
]
1단계 합성함수 ff x% h g = ^ - 1
^
1단계 역함수 fg% h = g - 1 % f - 1 이다.
1
f 4 = 2 , f 2 = 이고 ff 2% h g = ^ ] gh f 1 = 3
^
f f 2 = ] g
] g
]
] g
%
^ fgh - 1 % h = f - 1 의 양변에 함수 fg% 를 합성하면
5
따라서 f 4 + ^ ff 2 = 2 + 3 = 이다. % % - 1 % fg % - 1
% h g
] g
]
103 ^ fg % ^h fgh h = ^ % h f ,
1
1
-
-
% h
% h
% h
^ fg % ^ g % f h % h = ^ fg % f - 1 , h = ^ fg % f - 1
g f x ] gh 이다.
]
^
1단계 합성함수 gf x% h g = ^
%
]
h - g fg f ^ h - 1 ] - 1gh 이므로
1 = ^
]
% h g
^ hg x = ^ ] gh f xg 이므로 - 1
h g x = ]
1
1 =
]g
1 이때 f ] - g a 로 놓으면 f a =- , 1 - 3 a + 2 =- 에서
g x = 일 때 x4 + 3 = 2 , x =- 4 이다. - 1
2
]g
1
1 = 이다.
1 1 1 3 a = 이므로 f ] - g 1
b
f - l
따라서 h 2 = b b = b = 3 # - l =- 이다.
] g
h g - ll
4 4 4 4 따라서
104 h - g fg f ^ h - 1 ] - gh fg 1 ] h g
%
%
1 = ^
1 = ^
]
g f x ] gh 이다.
^
]
1단계 합성함수 gf x% h g = ^ = ^ ] gh f - g 5
1 = 이다.
f g 1 = ]
Z
] ] ] 1 ] ] x #- 1g 109
]
f x = [ ] ] ] ] - x - 1 < x # 0g - 1
] g
f x
] ] ] x ] ] 0 < x # 1g 1단계 x = f y ^h 이면 y = ]g 이다. y
\ 1 ] ] x $ 1g y f x = ) x 2 ] x < 1g
] g
f x
2
f x
f x
이므로 함수 y = ]g 의 1 y = ]g x - x 2 + 3 ] x $ 1g 2 y = ]g
f x
그래프는 오른쪽 그림과 같다. y = ]g 라 하면
2
1
]g
y = ^ fg x = ^ ] - 1 O 1 x x < 이면 f x < 이고, O
]
% h g
f g xgh
1
2
]g
f x -
= ] 2g 의 그래프는 y x $ 이면 f x $ 이므로 1 x
%
3 =
] g
f x
y = ]g 의 그래프를 x 축의 1 y = ^ fg x ] h g f - 1 ]g a 라 하면 f a = 3 ] a $ 1g 이다.
2
2
0
0
2
방향으로 2 만큼 평행이동한 a - 2 a + 3 = 3 , a - 2 a = 에서 a = 또는 a = 이다.
O 1 2 3 x 1 2
것이므로 오른쪽 그림과 같다. 이때 a $ 이므로 a = 이다.
3 =
2
105 따라서 f - 1 ]g a = 이다.
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다. 110
3
2
]
f f 1 = ] g
^
f 1 = 에서 ff 1% h g = ^ ] gh f 2 = 이다. 1단계 역함수 fg% h - 1 = g - 1 % f - 1 이다.
]g
^
함수 f 가 일대일대응이므로 f 3 = 1 ^ f % ^ gfh h g f % ^ f - 1 % g hh g g - 1 2 ] g 이다.
%
1
-
1
-
]g
2 =
]
2 = ^
]
3 =
f - 1 ]g a 로 놓으면 f a = 에서 a = 이므로 g - 1 ]g a 라 하면 g a = 이므로 a - 3 = 에서
3
2
2
2
]g
2 =
]g
f - 1 ]g 2 a = 이다.
3 = 이다.
5
따라서 f 3 + f - 1 ] g 1 + 2 = 이다. 따라서 f % ^ gfh h g g - 1 ] g a = 이다.
3 =
3
1
%
-
2 =
2 =
5
] g
^
]
106
111
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
f - 1 ] - g a 로 놓으면 f a =- 이다.
2 =
2
]g
1 함수 f 가 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
2
x 4 - 1 =- 에서 x =- 4 이므로
f f f aghh
%% h g
]
1 5 5 ^ ff fa = ^ ^ ] = 3 이므로
3 =-
f 2 # - l + l 2 , fb l =- 2 , a =
b
b
4 2 2 f f a = f - 1 ] g 2 , f a = f - 1 ] g 4 이다.
3 =
2 =
] g
^ ] gh
5
따라서 f - 1 ] - g a = 이다. 따라서 a = f - 1 ]g 5
2 =
4 = 이다.
2
13