Page 15 - 수학(하) 풀이

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f x
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다. 1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
y
f x
f x
함수 f 가 일대일대응이므로 함수 y = ]g 의 그래프는 y = ]g
f 6 < ]
] g
주어진 조건 f 5 + ] g f 11g 에서 오른쪽 그림과 같다. 5 y = x
4
2 =
" f 5 ] g , f 6 ] g, = " 10 , 16,이고, f 11 = 30 , f 16 = 26이다. f - 1 ]g a 로 놓으면 f a = 2
] g
]g
] g
3
2
f 11g 에서
주어진 조건 f 5 + ] f 6 + ] f 3 = 이므로 a = 3 2
g
]g
f 16 < ]g
] g
f 5 = 10 , f 6 = 16 이다. 그러므로 f - 1 ]g 3 1
2 = 이다.
] g
] g
O
1
-
그러므로 f 6 = 16 이므로 f - 1 ]g 6 f ^ - 1 % f h g f - 1 f ^ - 1 2 ] gh 1 2 3 4 5 x
2 =
16 = 이다.
]
]g
3 =
16 =
따라서 f 16 + f - 1 ] g 26 + 6 = 32 이다. = f - 1 3 ]g 이므로 f - 1 ]g b 로 놓으면 f b = 3
]g
] g
113 f 4 = 이므로 b = 4 이다.
3
]g
^
]
f f 5 = ] g
- 1 또한 ff 5% h g = ^ ] gh f 4 = 3
^
1단계 역함수 fg% h = g - 1 % f - 1 이다.
1
-
2 + ^
]
]
% h g
주어진 조건에서 f - 1 ]g 5 따라서 f ^ - 1 % f h g ff 5 = 4 + 3 = 7 이다.
0 = 이고,
1 1 119
1
g x = x 2 + 이라 하면 g - 1 ]g 2 x - 2 이다.
x =
]g
f x
%
f g x = ^
h x = ] 1 = ^ ] gh fg x ] h g 이므로 1단계 함수 y = ]g 의 그래프는 y = x 에 대하여 대칭이다.
] g
f x 2 + g
f x
%
-
1
h - 1 ] g fgh - 1 ] g g ^ - 1 % f h g 함수 y = ]g 의 그래프는 직선 y = x 에 대하여
0 =
0 = ^
0 ]
1 1 대칭이므로 f - 1 ]
= g - 1 f ^ - 1 ] gh g - 1 ] g 2 # 5 - 2 = 2 이다. x = ]g f xg 이다.
0 =
5 =
5
114 그러므로 f - 1 ] 1 = ]g f 1 = 이므로
g
1
gh
g
g 5 + ]g
g f ^ - 1 ] 1 + ^ ]gh g f 1 = ] g 5 = 2 # + 5 = 7
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
따라서 g2 5 = 7 이므로 g 5 = 7 이다.
]g
]g
f x
함수 y = ]g 의 그래프에서 2
120
f 1 = 2 , f 2 = 4 , f 3 = 1 , f 4 = 5 , f 5 = 이므로
3
] g
] g
] g
] g
] g
f x
2 =
f - 1 ] g 1 , f - 1 ] g 2 1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
4 = 이다.
a = 에서 a =
]g
- 1 % - 1 - 1 - 1 - 1 f 3 = a 로 놓으면 f - 1 ]g 3 4
4 =
4 =
2 = 이다.
따라서 f ^ f h g f f ^ ] gh f ] g 1
]
115 ^ ff 3 = ^ ] gh f 4g 이므로 f 4 = 로 놓으면
b
f f 3 = ]
% h g
]g
]
b =
5
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다. f - 1 ]g 4 이므로 b = 이다.
5
]
^
f x
y = ]g 의 그래프는 오른쪽 따라서 ff 3% h g = b = 이다.
y
그림과 같다. y = ]g 121
f x
f x
0
0 =
f - 1 ]g a 라 하면 f a = 이므로 1단계 함수 y = ]g 의 그래프와 y = f - 1 x ]g 의 그래프의
]g
O 2 3
f x
x
3
a = 이다. - 1 x 두 교점은 y = ]g 의 그래프와 직선 y = 의 두 교점과 같다.
2
0 =
따라서 f - 1 ]g a = 이다. x - x 6 + 12 = x 이므로 y y = x
3
f x
116 x - x 7 + 12 = , 0 y = ]g
2
4 =
- 1 - 1 - 1 ] x - 3 ]g x - g , 0 4 y = f - 1 x ]g
^
1단계 역함수 fg% h = g % f 이다.
3
%
%
]
^ f % ^ gfh - 1 % h g ff - 1 % g - 1 % f 1 ] h g x = 또는 x = 4
f 1 = ^
3
f 1 =
f 1 =
= g ^ - 1 % h g g - 1 ^ ] gh g - 1 ] - 1g 이다. 따라서 두 교점의 좌표는
]
O
,
^
g - 1 ] - g a 라 하면 g a =- 이므로 ^ , 33h , 44h 이므로 3 4 x
1
1 =
]g
-+ 1 =- 1 , a = 이다. 두 교점 사이의 거리는
2
a
3 =
%
f 1 =
2
따라서 f % ^ gfh - 1 % h g a = 이다. ] 4 - 3 + ]g 2 4 - g 2 2 이다.
]
^
117 122
- 1
]
1단계 역함수 fg% h = g - 1 % f - 1 이다. 1단계 일대일함수는 x 1 ] x 2 이면 f x 1 ! ]g f x 2g 이 성립한다.
^
1
g x = x 2 - 이라 하면 h x = ^ f gx% h g 이므로 함수 f x ]g 가 일대일함수이고 f 2 = 4 이므로 4 가 아닌
]g
] g
]
]g
-
%
x =
h - 1 ] g f gh - 1 ] g g - 1 % f h g g - 1 f ^ - 1 x ] gh 이다. 집합 Y 의 서로 다른 두 원소 ,ab 에 대하여
1
]
x = ^
x = ^
b
0 =
0 =
f 3g 의
h - 1 ] g g - 1 f ^ - 1 ] gh g - 1 ] - 3g 이므로 f 1 = , a f 3 = 로 놓을 수 있다. f 1 + ]
] g
] g
] g
b
3
g - 1 ] - g a 라 하면 g a =- 에서 최댓값은 a + 의 최댓값과 같다. 그런데 a = 2 , b =
3
3 =
]g
b
2
2 a - 1 =- 3 , a =- 이다. 또는 a = 3 , b = 일 때 a + 가 최대이다.
1
5
f 3g 의 최댓값은 2 +
0 =
3 =
따라서 h - 1 ] g g - 1 ] - g a =- 이다. 따라서 f 1 + ] 3 = 이다.
1
] g
14