Page 16 - 수학(하) 풀이

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f f x ] gh 이다.
1단계 y = x x $ 0g 의 역함수는 x = y 에서 y = x 이다 . 1단계 합성함수 ff x% h g = ^
^
2
]
]
1
3
2
2 =
2 +
점 Q n 의 y 좌표는 점 P n 의 y 좌표와 같다. f - g 2 # - g 2 = 1 , f 1 = 1 + 2 = 이므로
]
] g
]
3
a n = 3 n + 이므로 a 2 = 7 , a 9 = 28 이다. 따라서 ff - g f f - gh f 1 = 이다.
1
^
2 = ^ ]
% h
]
2 = ] g
y = x x $ 0g 의 역함수는 f - 1 ] g x x $ 0g 이므로 132
x =
2
]
]
f - 1 ] g 7 , f - 1 ] g 28 이다.
a 2 =
a 9 =
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
a 2 #
a 9 =
따라서 f - 1 ] g f - 1 ] g 7 # 28 = 196 = 14 이다. - 1
1
1 =
7 =
7
]
f x2 + g x 4 + 이므로 f ] x 4 + g x 2 + 이다.
124 따라서 x = 일 때, f - 1 ]g 2 # + 1 = 이다.
1
11 =
1
3
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
133
주어진 조건에서 f - 1 ]g 2 ]g 1
1 = 이므로 f 2 = 이다.
g x =
1단계 합성함수 f ^ - 1 % h g f - 1 ^ g x ] gh 이다.
]
f 2 = 4 + a = 1 , a =- 이므로 f x = x 2 - 이다.
3
3
]g
]g
g 3 =
g 3 =
]
f ^ - 1 % h g f - 1 ^ ] gh f - 1 1 ] g 이다.
3
3
따라서 f 3 = 2 # - 3 = 이다. 그러므로 f - 1 ]g a 라 하면 f a = 이므로 a = 이다.
]g
2
1 =
1
]g
125
2
g 3 =
]
따라서 f ^ - 1 % h g a = 이다.
g f x ] gh 이다.
^
]
1단계 합성함수 gf x% h g = ^
134
1
x
1
두 함수 f x = x + - 3 , g x = + 이므로
] g
] g
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다.
1 =- +
f 3 = 3 + - 3 =- 1 , g - g 1 1 = 0
1
] g
]
5
f - 1 ]g a 로 놓으면 f a = 이다.
5 =
]g
1 =
^
따라서 gf 3 = ^ ] gh g - g 0 이다.
]
g f 3 = ]
% h g
5 =
따라서 a2 - 3 = 5 , a = 4 이므로 f - 1 ]g a = 4 이다.
126
135
f f x ] gh 이다.
^
1단계 합성함수 ff x% h g = ^
]
f f x ] gh 이다.
^
]
3
f 1 = 5 , f 2 = 4 , f 3 = 1 , f 4 = 2 , f 5 = 이므로 1단계 합성함수 ff x% h g = ^
] g
] g
] g
] g
] g
주어진 조건에서 f 2 = 4 , f 3 = 1 , f 1 = 이므로
3
] g
] g
] g
5
^ ff 3 = ^ ] gh f 1 = 이다.
]
% h g
f f 3 = ] g
f 2 + ^ ]
127 f 2 + ^ ff 3 = ] g f f 3gh
] g
]
% h g
= 4 + ]g 4 + 3 = 7 이다.
f 1 =
g f xgh 이다.
% h g
^
1단계 합성함수 gf x = ^ ]
]
4 136
f 5 = 5 - 1 + 4 = 이므로
5
]g
g f x ] gh 이다.
3
]
^
^ gf 5 = ^ ] gh g 5 = 5 + 4 = 이다. 1단계 합성함수 gf x% h g = ^
% h g
g f 5 = ] g
]
128 f 1 = 2 , g 2 = 이므로
6
] g
] g
6
]
g f 1 = ] g
% h g
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다. ^ gf 1 = ^ ] gh g 2 = 이다.
f x
f 2 =- 1 , f - 1 ] - g 3 137
3 = 이므로
] g
2
f 2 + f - 1 ] - g ] 1 + 3 = 이다. 1단계 합성함수 g ^ - 1 % h g g - 1 ^ f x ] gh 이다.
3 = - g
] g
f x =
]
129 f - g ] 1 + 1 = 이므로
3
0
1 = - g
]
1단계 일대일대응은 일대일함수이고, 치역과 공역이 같다. g ^ - 1 % h ] 1 = g - 1 ^ ] 1 = g - 1 0 ] g 이다.
f - g
f - gh
주어진 조건에서 f 2 = 4 , f 4 = 6 , f 6 = 2 , g 2 = 6 그러므로 g - 1 ]g a 라 하면 g a = 이므로
0 =
0
] g
] g
] g
] g
]g
2
4
이고, 함수 g 는 일대일대응이므로 g 6 = 또는 4 이다. g a = a - 4 = 0 , a = 이다.
]g
]g
이때 집합 X 의 모든 원소 k 에 대하여 f k ! ]g g kg 따라서 g ^ - 1 % h ] 1 = a = 4 이다.
]
f - g
2
이므로 g 6 = 이면 f 6 = ]g g 6g 이므로 주어진 조건에
]g
]
138
맞지 않는다. 그러므로 g 6 = 4 이다.
]g
g f x ] gh 이다.
]
^
즉, g 2 = 6 , g 4 = 2 , g 6 = 4 이다. 1단계 합성함수 gf x% h g = ^
] g
] g
] g
5
] g
] g
6
따라서 f - 1 ] g g 4 = 4 + 2 = 이다. 주어진 조건에서 f 3 = 4 , g 4 = 이므로
6 + ] g
130 ^ gf 3 = ^ ] gh g 4 = 이다.
5
]
% h g
g f 3 = ] g
f x
1단계 x = f - 1 y ^h 이면 y = ]g 이다. 139
조건 (가)에 의하여 함수 f 의 치역은
g f x ] gh 이다.
1단계 합성함수 gf x% h g = ^
]
^
,
,
X = " , 12 34, 이고 조건 (나)와 f 1 + ]g f 4 = 7 에
]
g
5
주어진 조건에서 f 3 = 2 , g 2 = 이므로
] g
] g
의하여 f 1 = 4 , f 2 = 1 , f 3 = 2 , f 4 = 3
] g
] g
] g
] g
5
% h g
^ gf 3 = ^ ] gh g 2 = 이다.
]
g f 3 = ] g
6
1 =
따라서 f 1 + f - 1 ] g 4 + 2 = 이다.
] g
15