Page 13 - 수학(하) 풀이

090 096
f g xgh 이다.
g f x ] gh 이다.
^
^
]
% h g
]
1단계 합성함수 gf x% h g = ^ 1단계 합성함수 fg x = ^ ]
2
%
h
] g
f^ 3 =- , 1 ^ ff ^ h 3 = ff ^ ^ 3hh = ] 1 = 1 2 f x = x 2 + 1 , g x = 3 - x 에 대하여
] g
h
f - g
1 +
%
1 =
3
1 -
]
h
f g 4 = ]
f 3 ^ 3 - 4^ ff ^ h 3 = 3 # - g 4 # 1 =- 5 이다. ^ fg 4 = ^ ] gh f - g 2 # - g 2 1 = 이다.
h
% h g
]
]
2
091 097
1
2 =
2
1단계 f f x + gh x 4 - 에 x =- 를 대입하면
^ ]
%
1단계 fg% = gf 이면 f g x = ^ ]gh g f xgh 이다.
^ ]
9
f f 0 =- 이다.
^ ]gh
1
f x =- + , a g x = x 2 + 이므로
x
] g
] g
f 0 =- 이므로 f x = ax - 이다.
3
3
]g
]g
1
1 +
f g x =-]
^ fg x = ^ ] gh x 2 + g a =- x 2 - + a
]
% h g
9
3 =-
9
]
^ ]gh
f f 0 =- 이므로 f - g 3 a - 3 =- 에서
x
a +
g f x = ]
^ gf x = ^ ] gh 2 -+ g 1 =- x 2 + 2 a + 1
% h g
]
2
a = 이다.
%
%
x
-
fg = gf 이므로 2 - + a =- x 2 + 2 a + 1
1
3
따라서 f x = x 2 - 이므로 f 5 = 7 이다.
]g
]g
1
-+
따라서 1 a = 2 a + 이므로 a =- 이다.
2
092
098
g f xgh 이다.
1단계 합성함수 gf x = ^ ]
% h g
^
]
f f xgh 이다.
^
% h g
y 1단계 합성함수 ff x = ^ ]
]
] g
]
f g xgh
h x = ^ f gx = ^ ]
% h g
4 =- - g
]
f f 2 = ]
% h g
44 ^ ff 2 = ^ ] gh f - g ] 4 = 2
f -
h x
= ] x 2 + 3g y = ]g
2
2 =
% h
]
]
^ ff - g f f - gh f^ - - g 2 =- 2
h
2 =-^h
2 = ^ ]
= - x 2 + 3 + ]g 2 4 - x 2 + g 1
3 -
]
2 =
2 =
]
]
% h
]
^
따라서 ff 2% h g - ^ ff - g 2 - - g 4 이다.
2
= x 4 - 20 x + 20 4 5
5 2 099
= 4b x - 2 l - 5 이므로 - 1 O 2
g f x ] gh 이다.
]
^
h - g
M = ] 1 = 4 + 20 + 20 = 44 - 5 4 x 1단계 합성함수 gf x% h g = ^
b
5 h x ]g 가 일차함수이므로 h x = ax + 라 하면
]g
m = fbl =- 5
2
3 +
g f x = ]
]
% h g
5 =
따라서 M + m = 44 + - g 39 이다. ^ gf x = ^ ] gh g x2 - 3 = ]g 3 x 2 - g 2 = x 6 - 7
]
x = ]
x = ^^
% hh
% hh
%% h g
]
093 ^ hg fx = ^ h % ^ gf ] g h gf ] g h x 6 - 7g
b
= ] 7 += 6 ax - 7 a + b
a x6 - g
f f x ] gh 이다.
^
]
1단계 합성함수 ff x% h g = ^
^
]
이때 hg fx%% h g = g x ] g 이므로
1 =- +
f x = x 3 + 이므로 f - g 3 a 이고
a
]
]g
b
2
a +
2
^ ff 1 = ^ ] g f 3 + gh 3 3 + g a = 9 + 4 a 6 ax - 7 a + = x 3 + 에서 a = 1 2 , b = 11 이다.
% h g
]
f f 1 = ]
a = ]
1 11 1 11
]g
]g
^
따라서 주어진 조건에서 ff% h ] - 1 = ]g f - 1g 이므로 따라서 h x = 2 x + 2 이므로 h 1 = 2 + 2 = 6 이다.
9 + 4 a =-+ , a a =- 이다. 다른풀이
4
3
094 ^ gf x = ^ ] gh g x2 - 3 = ]g 3 x 2 - g 2 = x 6 - 7
3 +
]
g f x = ]
% h g
%%
%
]
]
1단계 fg% = gf 이면 f g x = ^ ]gh g f xgh 이다. ^ hg fx = ^^h g h gf x% h gh = g x ] g 이므로
^ ]
1
%
%
fg = gf 이므로 f g x = ^ ]gh g f xgh 이다. ^ gf x = 을 만족시키는 x 의 값을 구하면
% h g
]
^ ]
4
1
g 2 =
1
] g
^ ] gh
g f 1gh
x = 을 대입하면 f g 1 = ^ ] , f 5 = ] g 3 x 6 - 7 = 에서 x = 3 이다.
4 4
6
] g
2
3
^ ]
]
g
x = 를 대입하면 f g 2 = ^ ]gh g f 2gh , f 3 = ]g g 5 = 1 따라서 h 1 = gb l = 3 # 3 + 2 = 이다.
3
x = 를 대입하면 100
g 1 = 이므로 g 3 =
f f x ] gh 이다.
f g 3 = ^ ]gh g f 3gh , f g 3 = ] g 5 ]g 2 1단계 합성함수 ff x% h g = ^
^ ]
^ ] gh
^
]
f x
3
,
따라서 g 3 + ]g g 5 = 2 + 1 = 이다. 일차함수 y = ]g 의 그래프가 두 점 - , 20h , 04h 를
g
]
^
^
095 지나므로 f x = x 2 + 이다.
4
]g
f x2 +
4 +
^ ] gh
f f xgh 이다.
^
% h g
]
1단계 합성함수 ff x = ^ ] f f x = ] 4 = ]g 2 x 2 + g 4 = x 4 + 12 이고
f f x =
2
4
]
% h g
f f x = ]
]
^ ff x = ^ ] gh f x - 2 + 2g ^ ff x = ^ ] gh 4 이므로 x + 12 = 4 , x =- 이다.
% h g
2 -
= ] x - 2 + g 2 + 2 = x - 2 + 2 = f x ] g 다른풀이
,
f x
^
^
f f x = ]
그러므로 ff x% h g = ^ ] gh f xg 에서 f x = x 이다. 일차함수 y = ]g 의 그래프가 두 점 - , 20h , 04h 를
]g
]
^
2 =
%%
]
] g
^ ff fx = ^h g ff f x = ^h ff x = ^ ] gh f xg 지나므로 f - g 0 , f 0 = 4 이다.
% ^ ] gh
]
f f x = ]
]
% h g
f x
이므로 x - 2 + 2 = 6 , x - 2 = 4 일차함수 y = ]g 는 일대일대응이므로
0
^ ]gh
6
2
]g
따라서 x =- 또는 x = 이므로 f f x = 4 에서 f x = 이다.
2
2 +
모든 실근의 합은 - g 6 = 4 이다. 따라서 x =- 이다.
]
12