Page 12 - 수학(하) 풀이

Q 085
P 1단계 조건 (나)의 f x - 2 = ]g f x + 2g 에
]
f x -
2
- a - 2 4 a x x 대신 x - 를 대입하면 f x = ] 4g 이다.
] g
f -
f 11 = ]
g
g
]
2
2
- a #- 에서 a $ 이고 a $ 4 이므로 a $ 4 이다. f 19 = ]g f 15 = ] g f 7 = ]g f 3 = ] 1g 이므로
1
1 =
]
따라서 자연수 a 의 최솟값은 4 이다. 조건 (가)에서 f - g 2 - - 1 = 이다.
080 따라서 f 19 = ] 1 = 이다.
1
f - g
] g
1단계 p 가 q 이기 위한 충분조건이면 P 1 Q 이다.
086
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
1 a 1단계 치역은 공역의 부분집이다. 즉, (치역)1(공역)이다.
,
P = " , 14, Q = & | x 2 < x # 2 0 f x ]g 는 x 을 7 로 나눈 나머지이므로
2
p 가 q 이기 위한 충분조건이므로 P 1 Q 이다.
] g
] g
] g
] g
] g
a f 1 = 1 , f 2 = 4 , f 3 = 2 , f 4 = 2 , f 5 = 4 에서
그러므로 4 # 2 에서 a $ 이다. 함수 f 의 치역은 12 4, 이다.
8
,
,
"
따라서 자연수 a 의 최솟값은 8 이다.
081 따라서 함수 f 의 치역의 모든 원소의 개수는 3 이다.
1단계 ~p 가 q 이기 위한 충분조건이면 ~P 1 Q 이다.
087
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
1단계 일대일대응은 일대일함수이고, 치역과 공역이 같다.
C
~p 의 진리집합은 P 이다.
2
f x = x - x 2 = ] x - g 2 1 y
1 - 에서
] g
2
f x
C
P = " | xx - x 4 + 3 # , | x 1 # x # 3, , y = ]g
0 = "
:
함수 fX $ X 가 3
Q = " | xx # a,
1
일대일함수이면 k $ 이고,
C
~p 가 q 이기 위한 충분조건이므로 P 1 Q 이다.
주어진 함수 fX $ X 가
:
3
그러므로 a $ 이다. O 1
일대일대응이려면 치역과 공역이 3 x
따라서 실수 a 의 최솟값은 3 이다. - 1
같아야 한다.
082
k
k
2
즉 , f k = 에서 f k = k - k 2 = 이므로
]g
]g
1단계 p 가 q 이기 위한 충분조건이면 P 1 Q 이다.
2
3 =
0
k - k 3 = 0 , k k - g , 0 k = 또는 k = 이다.
3
]
: px = a 이 : x - ax - 32 = 의 근이 되어야 한다.
3
2
0
q
따라서 f x ]g 가 일대일대응이 되도록 하는
따라서 a3 2 - a - 32 = 0 , a = 16 에서 a 는 양수이므로
2
2
실수 k 의 값은 3 이다.
a = 4 이다.
083 088
1단계 함수 f 가 항등함수이면 f x = x 이다. 1단계 일대일대응은 증가 또는 감소함수이다.
]g
9 9
함수 f x = 가 항등함수이므로 = x 에서 f 1 = ] 2 + g a 1 = ] 1 - g a
a --
a + 이고, 함수 f 가
]g
] g
x x
9
3
f x
2
3
x = 이므로 x =- 또는 x = 이다. 일대일대응이 되려면 일차함수 y = ]g 의 그래프는
즉 , 집합 X 는 - 3+ 또는 3 !+ 또는 - , 33, 이므로 증가 또는 감소함수가 되어야 한다.
"
!
1
1
집합 X 중 원소의 개수가 최대인 집합은 그러므로 x < 일 때와 x $ 일 때의 두 직선의
S = - , 33, 이다. 기울기의 부호가 같아야 하므로 2 + g ] a > 이다.
0
"
]
a 1 - g
3 #
9
-
-
,
1
]
따라서 구하는 모든 원소의 곱은 - g 3 =- 이다. 따라서 2 < a < 에서 정수 a 는 10 이므로
084 정수 a 의 개수는 2 이다.
g
1단계 f = 이면 모든 원소 x 에 대하여 f x = ]g g xg 이다.
]
089
g
f = 가 성립하려면
1단계 함수 f 가 항등함수이면 f x = x 이다.
]g
]
f 1 = ]g g 1g , f - 1 = ]g g - 1g 이 성립해야 한다.
]
3
f x = x - x 3 가 항등함수가 되려면 정의역 X 의
]g
]
1 ]g f 1 = ]g g 1g 일 때
모든 원소 x 에 대하여 f x = x 가 성립해야하므로
]g
a + 1 = 1 + + , b a = + 1
b
1
x - x 3 = , xx - x 4 = 0 , x x - 2 ]g x + g , 0
2 =
3
3
]
2 ]g f - 1 = ]g g - 1g 일 때
]
0
2
2
x = 또는 x =- 또는 x = 이다.
b
1
- a + 1 = 1 - + , b a =-+ 1
,
" - , 20 2, 의 공집합이 아닌 부분집합이 정의역
0
따라서 1 ] g , 2 ] g 를 연립하면 a = 1 , b = 이므로
3
X 가 될 수 있으므로 집합 X 의 개수는 2 - 1 = 7 이다.
a + b = 이다.
2
2
1
11