Page 8 - 수학(하) 풀이

1
5
-+
이때 a 2 # 이고 a + 2 $ 이므로 052
3
1
a $ 이고 a $ 이다. 1단계 p 가 ~q 이기 위한 충분조건이면 p ( ~q 이고
3
따라서 a $ 이므로 자연수 a 의 최솟값은 3 이다. q 가 ~r 이기 위한 필요조건이면 q ' ~r 이다.
049 p 는 ~q 이기 위한 충분조건이므로 p ( ~,
q
1단계 q 는 p 이기 위한 충분조건이고 r 는 q 이기 위한 q 는 ~r 이기 위한 필요조건이므로 q ' ~r 이다.
q
r
충분조건이면 R 1 Q 1 P 이다. 이때 ~r ( 이면 그 대우도 참이므로 ~q ( 이다.
r
r
q
,
,
세 조건 ,pq r 의 진리집합을 각각 ,PQ R 라 하면 그러므로 p ( ~, ~q ( 에서 p ( 이다.
: p 2 - 5 $ 7 , px $ 이므로 P = " | xx $ 6, 이다. 따라서 항상 참인 명제는 p $ r 이다.
6
x
:
2
:
: rx - x 9 > 10 , r x - x 9 - 10 > , 0
2
053
1
1 >
: r ] x - 10 ]g x + g , 0 :rx < - 또는 x > 10 ,
1단계 p 가는 q 이기 위한 필요조건, p 가 r 이기 위한
0
이때 x > 이므로 :rx > 10 에서 R = " | xx > 10, 이다.
필요충분조건이면 Q 1 P = R 이다.
q 는 p 이기 위한 충분조건이므로 Q 1 P 이고
P = " a + 1 , a - 1, , Q = ! 3 - a+ ,
r 는 q 이기 위한 충분조건이므로 R 1 Q 이므로
2
R = " 2 a - 1 , a - 3, 이므로
R 1 Q 1 P 이다.
1 ]g a + 1 = 3 - , a 즉 a = 일 때
1
P
"
Q P = " , 02, , Q = ! 2+ , R = - , 21, 이므로 P ! R 이다.
R 2 ]g a - 1 = 3 - , a 즉 a = 일 때
2
6 n 10 x P = " , 13, , Q = ! 1+ , R = " , 1 3, 이므로
조건을 만족시킨다.
,
,
,
6 # n # 10이므로 자연수 n 의 값은 , 789 10이다.
6
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 구하는 a 의 값은 2 이다.
따라서 모든 자연수 n 의 값의 합은
7
6 +++ + 10 = 40 이다. 054
8
9
050 1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때,
0
q
1단계 p 가 이기 위한 필요조건이면 Q 1 P 이다. a + b $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
b
2
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 4 ] a + g 1 + 9 l = 4 + 36 a + b + 9 = 36 a + b + 13
b b
a b b a b a
p 가 q 이기 위한 필요조건이면 Q 1 P 가 성립한다. 36 a b
6
$ 2 b # a + 13 = 2 # + 13 = 25 이다.
P = " | xa < x < a + 12 , x는 자연수, , Q = " , 816,
(단 , 등호는 b = 6 a 일 때 성립)
a < 8 , a + 12 > 16 이므로 4 < a < 이다.
8
따라서 구하는 최솟값은 25 이다.
,
따라서 자연수 a 는 ,56 7 이므로
꼼수풀이 등호의 성질 이용

그 합은 5 ++ 7 = 18 이다.
6
1 + 9 l = 4 + 36 a + b + 9 = 36 a + b + 13 에서
4 ]
a + g
b b
051 a b b a b a
36 a = b , b = 36 a 2 , b = 6
2
q
1단계 p 가 이기 위한 충분조건이면 P 1 Q 이다. b a a 일 때 최솟값을 가지므로
36 a b
2
(가) 두 실수 ,xy 에 대하여 x + y = 이면 식 b + a + 13 에 b = 6 a 를 대입하면
0
2
36 a 6 a
6
0
x = 0 , y = 이므로 x + y 3 = 이다. 6 a + a + 13 = 6 + + 13 = 25 이다.
0
1
그러나 반례로 x = 3 , y =- 이면
055
x + y 3 = 이지만 x + y ! 0 이다.
0
2
2
0
2
2
0
0
x + y = 은 x + y 3 = 이기 위한 1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 일 때,
a + b
b
충분 조건이다. 2 $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
q
2단계 p 가 이기 위한 필요조건이면 P 2 Q 이다. f x = nx + 4 x n + 2 $ 2 nx # 4 x n + 2 = 4 n + 이다.
2
n ]g
2
2
y
2
(나) x - y = 0 , x = y 이므로 x = 또는 x =- 이다. (단 , 등호는 x = 일 때 성립)
y
2
2
y
따라서 x - y = 은 x = 이기 위한 f x $ 4 n + 이므로
2
2
2
0
n ]g
필요 조건이다. f x + ]g f x + ]g f xg
1 ]
3
2
2
1
3
2 =
2 + ]
따라서 (가), (나)의 안에 알맞은 것을 차례로 $ ] 4 # + 2 + ]g 4 # + g 4 # + g 30 이다.
적은 것은 ③이다. 따라서 f x + ]g f x + ]g f xg 의 최솟값은 30 이다.
1 ]
2
3
07