Page 124 - 수학(상)

알맹이 콕 !

. 1 두 직선의 위치 관계
) 1 두 직선이 서로 평행한 경우
m x +
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 직선 :ly = mx + , nll : y = l nl이
y
서로 평행하면 두 직선이 x 축의 양의 방향과 이루는 각 i 의 크기는 서로 같고 l
n
y 절편은 다르므로 m = ml , n ! nl이다. ll
b y + l
l
c
0
또 두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 에서 m ml
a c al cl i i
y =- b x - b , y =- bl x - bl 이므로 1 O 1 x 단원
두 직선의 기울기는 각각 - a b , - al 이고, y 절편은 각각 - c b , - cl 이다. nl 08
bl
bl
a al c cl a b c
따라서 - ,=- , - !- 에서 = ! 이다. 직
b bl b bl al bl cl
y 선
2) 두 직선이 서로 수직인 경우 l
ll 의
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 직선 :ly = mx + , nll : y = l nl이 x = 1
m x +
l 1 방
서로 수직이면 두 직선 ,lll과 각각 평행하고 원점 O 를 지나는 두 직선 P 1 ^ , mh
mx
: ly = mx , l 1 l : y = l 도 수직이다. 정
1 식
O 1 x
1
두 직선 ,l 1 l 1 l과 직선 x = 의 교점을 각각 ,PQ 라 하면 P 1 ^ , mh , Q 1 ^ , mlh 이다.
Q 1 ^ , mlh
삼각형 POQ 는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여
l 1 l
2
2
2
OP + OQ = PQ 이다.
2
2
2
2
이때 OP = 1 + m 2 , OQ = 1 + ml 2 , PQ = ] m - ml g 이므로
2
l
l
2
1
2
m =
2
1 + m + + l 2 m - ml g 에서 1 + m + + l 2 m - 2 mm + ml 2 , mm =- 이다.
1
1
m = ]
a c al cl
0
b y + l
c
l
또 두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 에서 y =- x - , y =- x - 이므로
b b bl bl
a al
두 직선의 기울기는 각각 - , - 이다.
b bl
a al
l
b
따라서 - l # - bl l =- 1 에서 aa +l bb = 0 이다.
b
b
2. 선분의 수직이등분선의 방정식
,
,
예 두 점 A 13g , B 55g 를 이은 선분 AB 의 수직이등분선의 방정식을 구해 보자.
]
]
5 - 3 2 1
1단계 직선 AB 의 기울기는 = = 이므로
5 - 1 4 2
1
1
2
선분 AB 의 수직이등분선의 기울기 m 은 # m =- 에서 m =- 이다.
2
1 + 5 3 + 5
2단계 선분 AB 의 수직이등분선은 AB 의 중점 b 2 , 2 l = ^ , 34h 를 지난다.
,
2
따라서 구하는 직선의 방정식은 기울기는 m =- 이고 점 34h 를 지나므로
^
3 + 에서 y =-
2
y =- ] x - g 4 2 x + 10 이다.
3. 두 직선의 교점을 지나는 직선
) 1 정점을 지나는 직선
임의의 실수 k 에 대하여 방정식 ax + by + c + ^h k ax + l c = 은
0
l
^
by + lh
l
l
0
1 ]g a + ka x + ]g b + kb y + ]g c + kc = 이므로 직선이다.
]
l g
,
2 ]g 두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 의 교점의 좌표를 pqh 라 하면
0
b y + l
l
c
^
0
l
c
0
l
b q + l
ap + bq + = 0 , a p + l c = 에서 ap + bq + c + ^h k ap + l c = 이다.
bq + lh
^
l
그러므로 방정식 ax + by + c + ^h k ax + l c = 의 그래프는 k 의 값에 관계없이 점 pqh 를 지난다.
0
,
^
by + lh
^
0
l
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 방정식 ax + by + c + ^h k ax + l c = 의 그래프는 실수 k 의 값에 관계없이 항상
^
by + lh
두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 의 교점을 지나는 직선이다.
c
l
b y + l
0
2) 두 직선의 교점을 지나는 직선
l
c
b y + l
0
직선 ax + by + c + ^h k ax + l c = 은 실수 k 의 값에 관계없이 두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 의
0
l
^
by + lh
l
b y + l
교점을 지나므로 한 점에서 만나는 두 직선 ax + by + = 0 , a x + l c = 의 교점을 지나는 직선 중
c
0
0
l
by + l
ax + l c = 을 제외한 직선의 방정식은 ax + by + c + ^h k ax + l c = 의 꼴로 나타낼 수 있다.
l
0
^
by + lh
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