Page 127 - 수학(상)

개 념 03 점과 직선 사이의 거리

. 1 점과 직선 사이의 거리
0
c
좌표평면 위의 점 P 에서 점 P 를 지나지 않는 직선 :lax + by + = 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때,
선분 PH 의 길이를 직선 l 과 점 P 사이의 거리 d 라 한다. y P^ , x 1 y 1h
ax 1 + by 1 + c
^
따라서 점 P x 1 , y 1h 과 직선 l 사이의 거리 d 는 d = 2 2 이다. d
a + b
c
,
특히 원점 O 00h 과 직선 l 사이의 거리 d 는 d = 이다. H
^
a + b 2
2
O x
참고 : lax + by + = 0
c
1 ]g 표준형 y = ax + 의 꼴은 일반형 ax -+ = 의 꼴로 고친다.
0
b
y
b
2 ]g 평행한 두 직선 ax + by + = 과 ax + by + l 0 y ax + by + l 0
c
0
c = 사이의 거리
c =
c
직선 ax + by + = 이 x 축과 만나는 점이 - a , 0l 이므로 ax + by + = 0
c
0
b
c
c d
점 - a , 0l 과 직선 ax + by + l 0 O x
c = 사이의 거리 d 는
b
c b - a c , 0l
a # - a l + cl -+ cl c - cl d
b
d = = c = 이다. b , 0 - c l
a + b 2 a + b 2 a + b 2 b
2
2
2
3 ]g 두 직선이 이루는 각의 이등분선의 거리 c = 0
,
각의 이등분선 위의 임의의 점 P xyh 에서 두 직선에 이르는 거리가 by + P
^
같다는 성질을 이용하여 구한다. ax + P^ , xyh
2. 삼각형의 넓이
l
by + l
ax + l c = 0
) 1 삼각형 ABC 의 넓이
y C^ , x 3 y 3h
밑변을 AB 로 하면 밑변의 길이는 AB 의 길이이고,
높이는 점 C 와 직선 AB 사이의 거리이다.
^
^
^
) 2 세 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h , C x 3 , y 3h 을
B^ , x 2 y 2h
꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 넓이 S 는
]g
1 O x
S = ^ xy 2 + xy 3 + xy 1 - ^h xy 1 + xy 2 + xy 3h 이다.
2 A^ , x 1 y 1h
3
3
2
1
2
1
알맹이 콕 !
.1 점과 직선 사이의 거리
0
직선 :lax + by + = 이 x 축 또는 y 축에 평행하지 않을 때, 즉 a ! 0 , b ! 0 일 때,
c
^
^
점 P x 1 , y 1h 에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 H x 2 , y 2h 라 하면 y P^ y 1h
직선 l 의 기울기가 - a 이고 직선 PH 와 직선 l 은 수직이므로 , x 1
b
y 2 - a x 2 - y 2 - y 1 d
c y 1 m # - l =- 1 에서 x 1 = 이다.
b
x 2 - x 1 b a b
x 2 - y 2 - y 1 H^ , x 2 y 2h
이때 x 1 = = k 로 놓으면 x 2 - x 1 = ak , y 2 - y 1 = bk gg ①
a b O x
2
2
2
2
2
2
b =
c
]
x 1 + ^
y 1 = ]
PH = ] x 2 - g 2 y 2 - h 2 ak + ]g 2 bk = k a + g k a + b gg ② : lax + by + = 0
g
c
^
또 점 H x 2 , y 2h 가 직선 l 위의 점이므로 ax 2 + by 2 + = 0 gg ③
ax 1 + by 1 + c
c
①에서 x 2 = x 1 + ak , y 2 = y 1 + bk 를 ③에 대입하면 a x 1 + ak + ^ bk += 에서 k =- gg ④
b y 1 +
0
]
g
h
2
a + b 2
ax 1 + by 1 + c ax 1 + by 1 + c
2
따라서 ④를 ②에 대입하면 PH = d = - # a + b = 이다.
2
2
a + b 2 a + b 2
2
이 식은 a = 0 , b ! 0 일 때는 직선이 x 축에 평행이고, a ! 0 , b = 일 때는 직선이 y 축에 평행할 때이다.
0
122 Ⅲ . 도형의 방정식