Page 129 - 수학(상)

예제 15 점과 직선 사이의 거리의 최댓값

0
y
1
^
점 ,32h 와 직선 x -+ + ^ y 5 = 사이의 거리를 f k ]g 라고 할 때,
k x +- h
f k ]g 의 최댓값을 구하시오.
0
1
y
x -+ + ^ y 5 = 을 ,xy 에 대하여 정리하면 개념 다지기
k x +- h
1
c
^
] 1 + k x + ]g k - 1g y +- k 5 = 0 이다. 점 x 1 , y 1h 과 직선 ax + by + = 0 사이의
ax 1 + by 1 + c
,
점 32h 와 직선 사이의 거리 f k ]g 는 거리 d 는 d = 이다.
^
a + b 2
2
1 # +-
] 1 + k # + ]g 3 k - g 2 1 k 5 2
f k = = 이다.
] g
2
] 1 + k + ]g 2 k - 1g 2 k 2 + 2
0
k
2
이때 f k ]g 의 값이 최대가 되려면 분모 2 + 2 가 최솟값을 가져야 하므로 k = 이어야 한다.
2
따라서 f k ]g 의 최댓값은 = 2 이다.
2
다른풀이 점과 직선 사이의 거리의 성질 이용 y

y
1
0
k x +- h
x -+ + ^ y 5 = 은 k 의 값에 관계없이 ^ , 23h
,
y
y
두 직선 x -+ 1 = 0 , x + - 5 = 0 의 교점 23h 을 지난다.
^
,
,
^
따라서 점 32h 에서 점 23h 을 지나는 직선에 이르는 거리가 최대일 때는
^
^ , 32h
,
,
^
^
오른쪽 그림과 같이 점 32h 에서 직선에 내린 수선의 발이 점 23h 일 때이다.
,
,
^
따라서 f k ]g 의 최댓값은 점 32h 와 점 23h 사이의 거리와 같으므로
^
3 =
] 3 - 2 + ]g 2 2 - g 2 2 이다. O x
예제 16 세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이
세 점 A - , 32h , B 1 - 4h , C 25h 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 넓이 S 를 구하시오.
,
,
^
^
^
1 - 3 1 2 - 3 개념 다지기
S = 2 2 - 4 5 2
^
^
^
세 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h , C x 3 , y 3h 을
1
2
5
= 6 ] " - g ] 4 + 1 # + 2 # 2 - ", 1 # + 2 # - g ] 3 # , 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 넓이 S 는
4 + - g
5 @
]
3 # - g
]g
2 첫번째 꼭짓점을 반복하여 쓴다.
= 21 이다.
S = 1 x 1 x 2 x 3 x 1
2 y 1 y 2 y 3 y 1
1
= ^ xy 2 + xy 3 + xy 1 - ^h xy 1 + xy 2 + xy 3h
1
2
2
1
3
3
2
예제 17 두 직선이 이루는 각의 이등분선
x
두 직선 x3 + y 4 + 3 = , 0 4 + y 3 + 1 = 이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 구하시오.
0
,
각의 이등분선 위의 임의의 점을 P xyh 라 하면 점 P 에서 개념 다지기
^
두 직선에 이르는 거리는 같으므 로 두 직선이 이루는 각의 이등분선은
,
0 각의 이등분선 위의 임의의 점 P xyh 에서
^
x 3 + y 4 + 3 x 4 + y 3 + 1 1 =
= , 두 직선에 이르는 거리는 같다.
2
3 + 4 2 4 + 3 2 3 y +
2
x 3 + y 4 + 3 = x 4 + y 3 + 1 , 4 x + P^ , xyh
x 3 + y 4 + 3 = !^ x 4 + y 3 + 1h 에서
x 3 + y 4 + 3 = 0
x -- 2 = 0 또는 x + 7 y + 4 = 0 이다
y
7
124 Ⅲ . 도형의 방정식