Page 139 - 수학(상)

알맹이 콕 !

. 1 원의 방정식
) 1 원의 방정식
y
1 ]g 표준형
,
원의 중심이 점 C abh 이고 반지름의 길이가 r 인 y P^ , xyh 핵심 찌르기
^
,
r
원 위의 임의의 점을 P xyh 라 하면 CP = 이므로 r 할선
^
C^ , abh 현
b = 에서
피타고라스 정리에 의하여 ] x - g 2 y - h 2 r b
a + ^
2
b =
a + ^
양변을 제곱하면 x - g 2 y - h 2 r 이다. 원의 중심
]
,
특히 원의 중심이 원점 00h 이고 반지름의 길이가 r 인
^
2
원의 방정식은 x + y = r 이다. 접선
2
2
O a x x 접점
2 ]g 일반형
b =
2
a + ^
]
원의 방정식의 표준형 x - g 2 y - h 2 r 을 전개하여 정리하면
2
2
2
2
2
x + y - 2 ax - 2 by + a + b - r = 0 이다.
2
2
a
2
이때 2 = , A - b 2 = , B a + b - r = C 라 하면
-
x + y + Ax + By + C = 과 같은 원의 방정식의 일반형을 구할 수 있다.
2
0
2
A 2 B 2 A 2 B 2
이를 완전제곱식으로 고치면 x + Ax + b 2 l + y + By + b 2 l - b 2 l - b 2 l + C = 에서
2
2
0
A 2 B 2 A + B - 4 C
2
2
b x + l + b y + l = 이다.
2 2 4
2
2
A B A + B - 4 C
0
이때 A + B - 4 C > 이면 원의 중심이 C - , - l 이고 반지름의 길이가 r = 인 원이다.
2
2
b
2 2 2
) 2 두 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식
^
^
두 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h 를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식은
1
방법1 (원의 중심) = (AB 의 중점 ), (반지름의 길이) = AB 이므로
2 A^ y 1h r
x 1 + y 1 + y 2 , x 1 r
원의 중심은 Cc x 2 , m 이고
2 2 C
1 2 B^ , x 2 y 2h
반지름의 길이는 r = 2 ] x 2 - g 2 y 2 - h 이므로 원의 방정식은
x 1 + ^
y 1
x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 1 2
x - l + c y - m = ] " x 2 - g 2 y 2 - h , 이다.
x 1 + ^
b
y 1
2 2 4
위의 식을 정리하면
1 2 1 2 1 2 1 2
y y +
x 2 +
2
x 1 +
y 2 =
x x +
2
x - ] x 1 + g 4 ] x 1 + g y - ^ y 1 + h 4 ^ y 1 + h 4 ] x 2 - g 4 ^ y 2 - y 1 , h
2
2
0
y y +
x x +
2
2
x - ] x 1 + g x x 2 + y - ^ y 1 + h y y 2 = 에서
1
2
2
1
x - x x - g y - y y - h 0 이다.
y 2 =
]
1 ^h
x 2 + ^
1 ]g
,
방법2 원 위의 임의의 점을 P xyh 라 하면 P^ , xyh
^
원의 성질에 의하여 + APB = 90c이므로 A^ , x 1 y 1h
-
수직인 두 직선의 기울기의 곱이 1 이다.
C
(
1
따라서 ( 직선 AP 의 기울기 ) # 직선 BP 의 기울기 ) =- 이므로 B^ , x 2 y 2h
y - y 1 y - y 2
y 2 =
x - x 1 # x - x 2 =- 1 에서 x - x x - g y - y y - h 0 이다.
1 ]g
x 2 + ^
1 ^h
]
,
방법3 원 위의 임의의 점을 P xyh 라 하면
^
원의 성질에 의하여 + APB = 90c이므로
P^ , xyh
2
2
2
피타고라스 정리에 의하여 PA + PB = AB 이 성립한다.
2
x 2 + ^
x - g 2 y - h 2 x - g 2 y - h 2 x 2 - g 2 y 2 - h 이므로 A^ , x 1 y 1h
x 1 + ^
x 1 + ^
y 1 + ]
]
y 2 = ]
y 1
위의 식을 정리하면 C
B^ , x 2 y 2h
2
2
x - x x - x x + x x 2 + y - yy - yy + yy 2 = , 0
1
1
1
2
2
1
x x +
y y +
0
2
2
x - ] x 1 + g x x 2 + y - ^ y 1 + h y y 2 = 에서
2
2
1
1
y 2 =
x x - g
1 ^h
]
1 ]
x - g x 2 + ^ y - y y - h 0 이다.
134 Ⅲ . 도형의 방정식