Page 142 - 수학(상)

예제 06 x 축, y 축에 접하는 원의 방정식

다음 원의 방정식을 구하시오.
1 ]g 중심이 점 ,2 - 3h 이고 x 축에 접하는 원
^
2 ]g 중심이 점 - , 23h 이고 y 축에 접하는 원
^
x
2
3 ]g 중심이 직선 y =+ 위에 있고 점 ,61h 을 지나며 x 축에 접하는 원
^
1 ]g x - 2 + ]g 2 x + g 2 3 이다. 개념 다지기
3 =
2
]
2 ]g x + 2 + ]g 2 x - g 2 2 이다. ) 1 x 축에 접하는 원의 방정식
2
3 =
]
,
^
,
3 ]g 원의 중심을 aa + 2h 라 하면 x 축에 접하므로 중심이 abh 이고 x 축에 접하는 원의 방정식은 단원
^
(반지름의 길이) = ( 중심의 y 좌표 ) = b 이므로 09
a
2
]
a + ^
x - g 2 y -- h 2 a + 2g 이다.
2 = ]
b =
2
] x - g 2 y - h 2 b 이다. 원
a + ^
이 원이 점 61h 을 지나므로 6 - a + ]g 2 1 -- 2 = ]g 2 a + 2g 2 ,
a
,
^
]
) 2 y 축에 접하는 원의 방정식 의
0
a - 14 a + 33 = 에서 a - 3 ]g a - 11 = 이므로 중심이 abh 이고 y 축에 접하는 원의 방정식은
2
0
g
]
,
^
방
a = 또는 a = 11 이다. 따라서 구하는 원의 방정식은 (반지름의 길이) = ( 중심의 x 좌표 ) = a 이므로
3
정
2
x - 3 + ]g 2 x - g 2 5 또는 x - 11 + ]g 2 x - 13 = 13 이다. ] x - g 2 y - h 2 a 이다.
b =
2
2
5 =
a + ^
2
g
]
]
식
예제 07 x 축과 y 축에 동시에 접하는 원의 방정식
,
오른쪽 그림과 같이 점 C 33h 을 지나고 x 축과 y 축에 y
^
Ol
동시에 접하는 두 원 ,OOl의 중심 사이의 거리 d 를 구하시오.
O
C^ , 33h
O x
원의 반지름의 길이를 r 라 하면 중심은 ,rrh 이므로 개념 다지기
^
r =
2
원의 방정식은 x - g 2 y - h 2 r 이다. 제 1 사분면에서 반지름의 길이가
r + ^
]
r =
,
2
이 원이 점 33h 을 지나므로 3 - r + ]g 2 3 - g 2 r 에서 r - 12 r + 18 = 이다. r 이고 x 축과 y 축에 동시에
0
2
^
]
2
이차방정식의 근의 공식에 의하여 r = 6 ! 6 - 18 = 6 ! 3 2 이므로 접하는 원의 방정식은
r =
2
r + ^
] x - g 2 y - h 2 r 이다.
두 원의 중심은 6 - 3 , 26 - 33h , 6 + 3 , 26 + 32h 이다.
^
^
2
6
6
따라서 두 원의 중심 사이의 거리는 ^ 6 + 3 2 - + 32 + ^h 2 6 + 3 2 - + 32 = ^h 2 62 + ^h 2 62 = 12 이다.
h
다른풀이 이차방정식의 근과 계수의 관계 이용

개념 다지기
0
,
2
r =
2
원이 점 33h 을 지나므로 3 - r + ]g 2 3 - g 2 r 에서 r - 12 r + 18 = 이다.
]
^
,
점 C aah 를 지나고 x 축과 y 축에
^
따라서 두 원의 반지름을 ,ab 라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
동시에 접하는 두 원 ,OOl의 중심
a + b = 12 이므로 두 원의 중심 사이의 거리는 12 이다.
사이의 거리 d 는 두 원 ,OOl의 중심
다른풀이 도형의 성질 이용 을 점 A aah , B bbh 라 하면
,
,

^
^
,
,
두 원 ,OOl의 중심을 점 A aah , B bbh 라 하면 y OA = 2 a , AC = a 이고
^
^
OC = 2 a 이므로 OA + AC = OC ,
OA = 2 a , AC = a 이고 OC = 32 이므로 b B 2 a + a = 2 a 에서 a = ^ 2 - 2 a h
OA + AC = OC , 2 a + a = 3 2 에서 a = 6 - 3 2 이다.
또 OC = 2 , aCB = b 이고
또 OC = 32 , CB = b 이고 OB = 2 b 이므로 OB = 2 b 이므로 OC + CB = OB ,
OC + CB = OB , 32 + b = 2 b 에서 b = 6 + 3 2 이다. 3 A C 2 a + b = 2 b 에서 b = ^ 2 + 2 a h
a
따라서 a + b = ^ 6 - 3 2 + ^h 6 + 32 = 12 이므로 따라서 두 원의 중심 사이의 거리는
h
O a 3 b x
두 원의 중심 사이의 거리는 12 이다. a + b = ^ 2 - 2h a + ^ 2 + 2h a = 4 a
,
꼼수풀이 점 C aag 를 지나고 x 축과 y 축에 동시에 접하는 두 원의 중심사이의 거리는 a4 이다.

]
두 원이 점 33h 을 지나므로 두 원의 중심 사이의 거리는 4 # 3 = 12 이다.
,
^
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