Page 147 - 수학(상)

2
b =
]
2) 원 x - g 2 y - h 2 r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식
a + ^
2
b =
2
2
2
]
원 x - g 2 y - h 2 r 은 원 x + y = r 을 x 축의 방향으로 a 만큼, y 축의 방향으로 b 만큼 평행이동한
a + ^
b =
2
2
것이므로 원 x - g 2 y - h 2 r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식은 y = mx ! r m + 1 을 x 축의
a + ^
]
a !
방향으로 a 만큼, y 축의 방향으로 b 만큼 평행이동한 y = m x - g rm ++ 이다.
2
1
b
]
^
. 2 원 위의 한 점 x 1 , y 1h 이 주어진 원의 접선의 방정식 l y
1) 원 x + y = r 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식 r
2
2
2
^
2
2
1 ]g x 1 ! 0 , y 1 ! 0 인 경우 x + y = r 2 P^ , x 1 y 1h
y 1
직선 OP 의 기울기는 이고 접선 l 과 직선 OP 는 서로 수직이므로
x 1 - r O r x
접선 l 의 기울기는 - x 1 이다. 또 접선 l 은 점 P x 1 , y 1h 을 지나므로
^
y 1
y - y 1 =- x 1 ] x - x 1g , xx + yy = x 1 + y 1 이다.
2
2
1
1
y 1 - r
2
2
2
2
2
2
^
이때 P x 1 , y 1h 은 원 x + y = r 위의 점이므로 x 1 + y 1 = r 이다.
2
따라서 접선 l 의 방정식은 xx + yy = r 이다. x =- r y x = r
1
1
r
2 ]g x 1 = 0 또는 y 1 = 0 인 경우 y = r
2
x + y = r 2
2
점 P 의 좌표가 0 ! rh 또는 ! , r 0h 이므로 접선 l 의 방정식은
,
^
^
y = ! r 또는 x = ! r 이다. - r O r x
0
0
따라서 x 1 = 또는 y 1 = 일 때도 원의 접선 l 의 방정식은
- r y =- r
xx + yy = r 이다.
2
1
1
예제 14 기울기 m 이 주어진 원의 접선의 방정식
다음 접선의 방정식을 구하시오.
2
1 ]g 원 x + y = 에 접하고 기울기가 2 인 접선의 방정식
2
4
2 = 에 접하고 기울기가 2 인 접선의 방정식
2 ]g 원 x - g 2 y - h 2 4
1 + ^
]
개념 다지기
1 ]g 원의 반지름의 길이가 2 이고 접선의 기울기가 2 이므로
2
1) 원 x + y = r 에 접하고 기울기가 m 인
2
2
2
y = x 2 ! 2 2 + 1 에서 y = 2 x ! 2 5 이다.
접선의 방정식은 y = mx ! r m + 1 이다.
2
,
2 ]g 원의 중심이 , 12h 반지름의 길이가 2 이고
^
2
b =
]
a + ^
2) 원 x - g 2 y - h 2 r 에 접하고 기울기가 m 인
접선의 기울기가 2 이므로 접선의 방정식은 y = m x - g rm ++ 이다.
a !
1
2
b
]
1 !
2
1
2
2
y = ] x - g 22 ++ 에서 y = 2 x ! 2 5 이다.
다른풀이 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용

개념 다지기
y
x
1 ]g 기울기가 2 인 접선의 방정식을 y = x 2 + , n 2 -+ n = 이라 하면
0
(원의 중심에서 접선까지의 거리)
,
y
원의 중심 00h 과 직선 x2 -+ n = 사이의 거리가
0
^
= (반지름의 길이)임을 이용
반지름의 길이 2 와 같으므로
n
= 2 에서 n = ! 25 이다.
2 + 1 2
2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y = 2 x ! 2 5 이다.
y
0
2 ]g 기울기가 2 인 접선의 방정식을 y = x 2 + , n 2 -+ n = 이라 하면
x
원의 중심 ,12h 와 직선 x2 -+ n = 사이의 거리가
0
y
^
반지름의 길이 2 와 같으므로
1
2
2 # -+ n
= 2 에서 n = ! 25 이다.
2
2 + 1 2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y = 2 x ! 2 5 이다.
142 Ⅲ . 도형의 방정식