Page 151 - 수학(상)

알맹이 콕 !

. 1 극선의 방정식 l
A^ , x 2 y 2h
2
2
2
^
) 1 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x + y = r 에 그은 극선의 방정식
P^ , x 1 y 1h
^
원 밖의 점 P x 1 , y 1h 에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각
A^ , x 2 y 2h , B x 3 , y 3h 이라 하면 두 접점에서의 접선의 방정식은
^
2
원 위의 점에서의 접선이므로 xx + yy = 2 , r x x + y y = r 이다. B^ , x 3 y 3h
2
3
3
2
2
^
두 접선이 모두 점 P x 1 , y 1h 을 지나므로 xx 1 + yy 1 = 2 , r x x 1 + y y 1 = r 이 성립한다. l
3
3
2
2
2
이 식은 곧 xx + yy = r 의 식에 각각 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 을 대입한 식과 같으므로
^
^
1
1
2
^
^
두 점 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 를 지나는 직선의 방정식은 xx + yy = r 이다.
1
1
^
이 식은 원 위의 점 P x 1 , y 1h 에서 그은 접선의 방정식과 같다.
b =
2
]
a + ^
^
) 2 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x - g 2 y - h 2 r 에 그은 극선의 방정식
^
^
^
원 밖의 점 P x 1 , y 1h 에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 이라 하면
두 접점에서의 접선의 방정식은 원 위의 점에서의 접선이므로
2
a x - g
a x - g
] x 2 - g ] a + ^ y 2 - h ^ b = 2 , r ] x 3 - g ] a + ^ y 3 - h ^ b = r 이다.
b y - h
b y - h
^
두 접선이 모두 점 P x 1 , y 1h 을 지나므로
2
a x 1 - g
b y 1 - h
a x 1 - g
b y 1 - h
] x 2 - g ] a + ^ y 2 - h ^ b = 2 , r ] x 3 - g ] a + ^ y 3 - h ^ b = r 이 성립한다.
2
이 식은 곧 x 1 - g ] a + ^ y 1 - h ^ b = r 의 식에 각각 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 을 대입한 식과 같으므로
^
^
b y - h
]
a x - g
2
^
a x - g
b y - h
^
]
두 점 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 를 지나는 직선의 방정식은 x 1 - g ] a + ^ y 1 - h ^ b = r 이다.
^
이 식은 원 위의 점 P x 1 , y 1h 에서 그은 접선의 방정식과 같다.
2
c
2
^
) 3 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x + y + ax + by + = 0 에 그은 극선의 방정식
^
^
^
원 밖의 점 P x 1 , y 1h 에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 이라 하면
두 접점에서의 접선의 방정식은 원 위의 점에서의 접선이므로
c
c
xx + yy + a # x + 2 x 2 + b # y + 2 y 2 += 0 , x x + y y + a # x + x 3 + b # y + y 3 += 0 이다.
2
3
2
2
2
3
^
두 접선이 모두 점 P x 1 , y 1h 을 지나므로
c
c
xx 1 + yy 1 + a # x 1 + x 2 + b # y 1 + y 2 += 0 , x x 1 + y y 1 + a # x 1 + x 3 + b # y 1 + y 3 += 0 이 성립한다.
2
2
2
3
2
3
2
2
x + x 1 y + y 1
c
이 식은 곧 xx + yy + a # 2 + b # 2 += 0 의 식에 각각 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 을 대입한 식과 같으므로
^
^
1
1
x + x 1 y + y 1
^
^
두 점 A x 2 , y 2h , B x 3 , y 3h 를 지나는 직선의 방정식은 xx + yy + a # 2 + b # 2 + c = 0 이다.
1
1
^
이 식은 원 위의 점 P x 1 , y 1h 에서 그은 접선의 방정식과 같다.
예제 17 극선의 방정식
다음을 구하시오.
,
2
1 ]g 원 x + y = 밖의 점 P 84h 에서 원에 그은 두 접선이 원과 만나는 점을 ,AB 라 할 때,
2
4
^
직선 AB 의 방정식
,
2 ]g 원 x + y = 밖의 점 P 34h 에서 원에 그은 두 접선이 원과 만나는 점을 ,AB 라 할 때,
2
2
5
^
,
점 P 34h 와 직선 AB 사이의 거리
^
1 ]g 직선 AB 의 방정식은 x8 + y 4 = 4 에서 y =- 2x + 이다.
1
개념 다지기
2 ]g 직선 AB 의 방정식은 x3 + y 4 - 5 = 0 이므로 점 P 34h 와
,
^
2
2
2
원 x + y = r 밖의 점 P x 1 , y 1h 에서 그은
^
3 # + 4 # - 5 2
4
3
직선 AB 사이의 거리는 = 4 이다. 극선의 방정식은 xx + yy = r 이다.
1
1
2
3 + 4 2
146 Ⅲ . 도형의 방정식