Page 148 - 수학(상)

예제 15 원 위의 한 점 x 1 , y 1h 이 주어진 원의 접선의 방정식
^

다음 접선의 방정식을 구하시오.
,
2
2
1 ]g 원 x + y = 25 위의 점 43h 에서의 접선의 방정식
^
,
2 =
2 ]g 원 x - g 2 y + h 2 10 위의 점 4 - 1h 에서의 접선의 방정식
]
1 + ^
^
0
2
2
3 ]g 원 x + y - x 4 - y 6 + 3 = 위의 점 ,54h 에서의 접선의 방정식
^
1 ]g 접선의 방정식은 x4 + 3 y = 25 이다. 개념 다지기
2 =
2
1 + -+ g
]
2 ]g 접선의 방정식은 4 - g x - g ] 1 2 ^ y + h 10 에서 원의 방정식에서 x 대신 xx ,
1 ]
1
a x -
2
2
y =- 3 x + 11 이다. y 대신 yy x - ag 대신 x 1 - g ] ag , 단원
, ]
]
1
b y -
x + 5 y + 4 y 대신 y 1 - h ^ , bh x 대신 x + x 1 , 09
2
^
3 ]g 접선의 방정식은 x5 + y 4 - 4 # - 6 # + 3 = 에서 2
0
2 2 y + y 1
y =- 3 x + 19 이다. y 대신 2 을 대입하여 구한다. 원
의
이때 상수항은 변하지 않는다.
방
예제 16 원 밖의 한 점 abg가 주어진 원의 접선의 방정식 정
,
]
식
다음 접선의 방정식을 구하시오.
1 ]g 점 ,23h 에서 원 x + y = 에 그은 접선의 방정식
2
2
4
^
2 =
2 ]g 점 - , 47h 에서 원 x - g 2 y - h 2 10 에 그은 접선의 방정식
]
1 + ^
^
2
3 ]g 점 ,11h 에서 원 x + y - x 8 - y 4 + 18 = 에 그은 접선의 방정식
0
2
^
개념 다지기
,
1 ]g 1단계 점 23h 을 지나는 접선의 기울기를 m 이라 하면
^
y = m x - g 3 y 2 m + 3 = 이다. (원의 중심에서 접선까지의 거리)
0
2 + 에서 :lmx --
]
,
2단계 원의 중심 00h 과 접선 l 사이의 거리가 반지름의 길이 2 이므로 = (반지름의 길이)임을 이용
^
- 2 m + 3
2
= , 2 - 2 m + 3 = 2 m + 1 이다.
2
m + 1
5
m
양변을 제곱하여 정리하면 12 + 5 = 0 에서 m = 12 이다.
-
5 5 13
그러므로 y = 12 ] x - g 3 , y = 12 x + 6 이며
2 +
2
이때 원 밖의 한 점에서 그은 접선은 반드시 2 개이므로 나머지 하나의 접선은 x = 이다.
5 13
2
따라서 구하는 접선의 방정식은 x = 또는 y = 12 x + 6 이다.
참고 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식은 반드시 두 개 존재한다. 따라서 접선이 x 축 또는 y 축에 평행할 때,
(원의 중심에서 접선까지의거리) = (반지름의 길이)임을 이용하면 접선의 방정식이 한 개만 구해지므로
나머지 x 축 또는 y 축에 평행하는 접선의 방정식을 구한다.
2 ]g 1단계 점 - , 47h 을 지나는 접선의 기울기를 m 이라 하면 y = m x + g 7 y 4 m + 7 = 이다.
4 + 에서 :lmx -+
0
^
]
^
2단계 원의 중심 ,12h 와 접선 l 사이의 거리가 반지름의 길이 10 이므로
m -+ 4 m + 7
2
2
= 10 , 5 m + 1 = 10 m + 1 이다.
m + 1
2
1
양변을 제곱하여 정리하면 m3 2 + 10 m + 3 = 에서 m =- 또는 m =- 3 이다.
3
0
1 1 7
5
따라서 구하는 접선의 방정식은 y =- 3 x - 또는 y =- 3 x + 3 이다.
3 ]g 1단계 점 ,11h 을 지나는 접선의 기울기를 m 이라 하면 y = m x - g 1 y m + 1 = 0 이다.
1 + 에서 :lmx --
]
^
2
2단계 x + y - x 8 - y 4 + 18 = , 0 x - g 2 y - h 2 2
2
2 = 에서
4 + ^
]
,
원의 중심 42h 와 접선 l 사이의 거리가 반지름의 길이 2 이므로
^
2
4 m -- m + 1
2
= , 2 3 m - 1 = 2 m + 1 이다.
2
m + 1
0
1
양변을 제곱하여 정리하면 m7 2 - 6 m - 1 = 에서 m = 또는 m =- 1 7 이다.
1 8
따라서 구하는 접선의 방정식은 y = x 또는 y =- x + 이다.
7 7
143