Page 143 - 수학(상)

예제 08 아폴로니오스의 원

,
,
^
두 점 A 20h , B 50h 으로부터의 거리의 비가 :21인 점 P 가 그리는 도형의 방정식을 구하시오.
^
개념 다지기
,
점 P 의 좌표를 P xyh 라 하면 AP : BP = : 21 에서 BP = AP 이므로
2
^
2
2
5 +
2 +
2 ] x - g 2 y = ] x - g 2 y 에서 두 정점 ,AB 에 대하여
:
PA : PB = mn m > 0 , n > 0 , m ! nh
^
2
6 +
2
]
양변을 제곱하여 정리하면 x - g 2 y = 2 이다.
인 점 P 가 나타내는 도형은 선분 AB 를
따라서 점 P 가 그리는 도형은 중심이 ,60h 이고 반지름의길이가 2 인 원이다.
^
:
:
mn 으로 내분하는 점과 mn 으로 외분
꼼수풀이 아폴로니오스의 원의 성질 이용 하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원이다.

,
점 P 가 그리는 도형은 AB 를 :21 로 내분하는 점 40h 과 :21 로
^
,
외분하는 점 80h 을 양 끝 점으로 하는 원이므로 개념 다지기
^
2
y
6 +
8 +
2
] x - 4 ]g x - g y # = 0 에서 x - g 2 y = 2 이다. (원의 중심) = (AB 의 중점 ),
]
1
,
따라서 점 P 가 그리는 도형은 중심이 60h 이고 반지름의 길이가 2 인 원이다. (반지름의 길이) = 2 AB 이므로
^
y 2 =
1 ^h
] x - x x - g y - y y - h 0 이다.
1 ]g
x 2 + ^
예제 09 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식과 직선의 방정식
2
2
0
2
2
두 원 x + y - x 2 + y 4 - 6 = 0 , x + y - 2 = 에 대하여 다음 방정식을 구하시오.
1 ]g 두 원의 교점과 원점을 지나는 원
2 ]g 두 원의 교점을 지나는 직선
2
2
2
1 ]g x + y - x 2 + y 4 - 6 + ^h k x + y - h 0 개념 다지기
2
2 = 에서
^
2
c
:
2
--
3
이 방정식이 원점을 지나므로 6 k 2 = , 0 k =- 이다. 두 원 Ox + y + ax + by + = , 0
2
c =
a x + l
2
2
따라서 x + y - x 2 + y 4 - h 3^ x + y - h 0 Ol : x + y + l b y + l 0 에 대하여
2
2
2
6 -
2 = 이므로
^
1 ]g 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
따라서 두 원의 교점과 원점을 지나는 원의 방정식은
ax + l
k x +
c
2
c =
2
x + y + ax + by + + ^ 2 y + l by + lh 0
2
x + y + - 2 y = 0 이다.
2
x
2
1
(단, k !- 인 실수)
2
2
2
2
2 ]g x + y - x 2 + y 4 - 6 - ^h x + y - h 0
2 = 이므로
^
2 ]g 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식
따라서 두 원의 교점을 지나는 직선은 x + y + ax + by + - ^ x + y + l by + lh 0
2
c
2
ax + l
c =
2
2
x - 2 y + 2 = 0 이다.
예제 10 두 원의 공통현의 길이
두 원 x + y = 5 , x + y - x 3 - y 4 = 의 공통현의 길이를 구하시오.
2
2
2
2
0
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식 l 은 개념 다지기
2
2
2
2
^ x + y - 5 - ^h x + y - x 3 - y 4 h = 0 에서 공통현의 길이를 구하는 방법
두 원 ,OOl이 두 점 ,AB 에서 만날 때,
0
: l 3 + y 4 - 5 = 이다.
x
1단계 원 x + y = 의 중심이 00h 이므로 직선 l 사이의 A
5
2
,
2
^
- 5
거리 OM 은 OM = = 1 이다. B
3 + 4 2 M
2
2
2
2단계 직각삼각형 3 AOM 에서 OA = OM + AM 2 , O
2
2
2
2
2
AM = OA - OM 에서 AM = ^ 5 - 1 = 4 이므로
2
h
AM = 이다. 1단계 중심 O 와 직선 l 사이의거리 OM 를 구한다.
2
2단계 직각삼각형 3 AOM 에서 피타고라스 정리에
3단계 따라서 공통현의 길이는 AB = 2 AM = 2 # 2 = 4 이다.
의하여 선분 AM 의 길이를 구한다.
3단계 공통현의 길이는 AB = 2 AM 이다.
138 Ⅲ . 도형의 방정식