Page 146 - 수학(상)

개 념 03 원의 접선의 방정식

. 1 기울기 m 이 주어진 원의 접선의 방정식

2
2
) 1 원 x + y = r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식
2
2
2
원 x + y = r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식은 y = mx ! r m + 이다.
1
2
2
2
b =
) 2 원 x - g 2 y - h 2 r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식
a + ^
]
a !
2
2
b
b =
1
]
a + ^
]
원 x - g 2 y - h 2 r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식은 y = m x - g rm ++ 이다.
a !
2
1
1
b
참고 y = m x - g rm ++ 은 y = mx ! r m + 을 x 축의 방향으로 a 만큼, 단원
2
]
09
y 축의 방향으로 b 만큼 평행이동한 것이다.
원
^
2. 원 위의 한 점 x 1 , y 1h이 주어진 원의 접선의 방정식 의
) 1 원 x + y = r 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식 방
2
2
2
^
2
원 x + y = r 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식은 xx + yy = r 이다. 정
2
2
2
^
1
1
식
2
b =
2
a + ^
^
2) 원 x - g 2 y - h r 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식
]
b =
2
a + ^
^
]
원 x - g 2 y - h 2 r 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식은
2
] x 1 - g ] a + ^ y 1 - h ^ b = r 이다.
b y - h
a x - g
3) 원 x + y + ax + by + = 0 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식
2
c
2
^
P
원 x + y + ax + by + = 위의 점 x 1 , y 1h 에서의 접선의 방정식은
0
2
2
c
^
x + y + y 1
xx + yy + a # 2 x 1 + b # 2 += 0 이다.
c
1
1
참고 원의 방정식에서 x 대신 xx y 대신 yy x - ag 대신 x 1 - g ] ag , y 대신 y 1 - h ^ , bh
a x -
b y -
2
2
2
2
,
^
]
, ]
1
1
x + x 1 y + y 1
x 대신 , y 대신 을 대입하여 구한다. 이때 상수항 c 는 변하지 않는다.
2 2
,
3. 원 밖의 한 점 abg가 주어진 원의 접선의 방정식
]
^
방법1 원 위의 접점을 x 1 , y 1h 으로 놓고 접선의 방정식 이용
방법2 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름의 길이)임을 이용
0
방법3 판별식 D = 임을 이용
알맹이 콕 !
. 1 기울기 m 이 주어진 원의 접선의 방정식 y y = mx + r m + 1
2
1) 원 x + y = r 에 접하고 기울기가 m 인 접선의 방정식
2
2
2
r 2 2 2
방법1 판별식 D = 0 임을 이용 x + y = r
기울기가 m 인 접선의 방정식을 y = mx + n 으로 놓고 원의 방정식
r
x + y = r 에 대입하면 x + ] mx + g 2 r 에서 - r O x
2
n =
2
2
2
2
2
2
0
2
2
] m + 1g x + 2 mnx + n - r = 이다.
0
원과 직선이 접하면 판별식 D = 이므로 - r y = mx - r m + 1
2
D = 2 2 m + 2 r = 에서 n = ! r m + y
2
2
2
0
4 mn - ] 1 ]g n - g 1 이다. y = mx + n
2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y = mx ! r m + 1 이다.
r
2
2
방법2 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름의 길이)임을 이용 H x + y = r 2
y
기울기가 m 인 접선의 방정식을 y = mx + , n mx -+ n = 이라 하면 d
0
0
원의 중심 00h 과 직선 mx -+ n = 사이의 거리가 반지름의 - r O r x
,
y
^
n
2
길이 r 와 같으므로 r = , n = ! r m + 1 이다.
m + 1
2
2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y = mx ! r m + 1 이다. - r
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