Page 145 - 수학(상)

예제 11 원과 직선의 위치 관계

원 x + y = 와 직선 y = mx + 의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 m 의 값 또는 범위를 구하시오.
2
2
2
2
1 ]g 서로 다른 두 원에서 만난다. 2 ]g 접한다. 3 ]g 만나지 않는다.
y = mx + 를 x + y = 에 대입하면 x + ] mx + g 2 2 개념 다지기
2
2
2
2
2
2 = 에서
2
0
2
] 1 + m x + 4 mx + 2 = 이며 판별식을 D 라 하면 원과 직선의 교점의 개수는 두 방정식을 연립한
g
D 2 2 2
2
2 1 +
g
g
4 = 2 ] m - ] m = 2 m - 이다. 이차방정식의 실근의 개수와 같으므로 판별식
D D 의 부호에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다.
0
1
1
2
1 ]g = 2 m - 2 > 에서 m < - 또는 m > 이다.
4
1 ]g D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
D 2
0
2 ]g = 2 m - 2 = 에서 m = ! 1 이다. 2 ]g D = 0 이면 접한다.
4
D 3 ]g D < 0 이면 만나지 않는다.
2
-
0
3 ]g = 2 m - 2 < 에서 1 < m < 1 이다.
4
다른풀이 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용

,
직선 mx -+ 2 = 과 원 x + y = 의 중심 00h 사이의 거리 d 는 개념 다지기
y
2
2
0
2
^
2 2 반지름의 길이가 r 인 원의 중심 O 와 직선 l
d = = 이다.
2
2
m + 1 m + 1 사이의 거리를 d 라 할 때, 원과 직선의 위치
2
2
2
r
1 ]g d < 이므로 < , 2 2 < m + , 1 2 < m + , 1 관계는 d 와 r 의 대소 관계에 따라
2
m + 1
1
1
1
2
m > 에서 m < - 또는 m > 이다. 다음과 같이 구분할 수 있다.
r
2 1 ]g d < 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
r
2
2
2 ]g d = 이므로 = , 2 2 = m + , 1 2 = m + , 1
r
2
m + 1 2 ]g d = 이면 접한다.
1
m = 에서 m = ! 1 이다. 3 ]g d > 이면 만나지 않는다.
2
r
2 2 2
3 ]g d > 이므로 > , 2 2 > m + , 1 2 > m + , 1
r
2
m + 1
m < 에서 1 < m < 1 이다.
2
1
-
예제 12 원과 직선이 만날 때, 직선의 y 절편의 최댓값과 최솟값
3
원 x + y = 과 직선 x + y 4 + = 이 만날 때, 실수 k 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오.
k
2
2
0
1
3 k 개념 다지기
x 3 + y 4 + = 0 , y =- 4 x - 4 를 x + y = 에 대입하면
k
1
2
2
3 k 2 원과 직선이 만나면 두 방정식을 연립한
0
x + - x - l = , 125 + 6 kx + k - 16 = 에서 판별식을 D 라 하면
2
2
x
2
b
4 4 이차방정식의 판별식은 D $ 0 이다.
D 2 k - g 2
2
-
4 = k 3 ] g - 25] 16 $ 0 , k - 25 # 0 이므로 5 # k # 5
-
5 =-
따라서 k 의 최댓값은 ,5 최솟값은 5 이므로 최댓값과 최솟값의 곱은 5 # - g 25 이다.
]
개념 다지기
다른풀이 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용

k 반지름의 길이가 r 인 원의 중심 O 와
직선 x3 + y 4 + = 과 원 x + y = 1의 중심 ,00h 사이의 거리는 d = 이고
0
k
2
2
^
2
3 + 4 2 직선 l 사이의 거리를 d 라 할 때,
k
5
-
원의 반지름의 길이는 1 이므로 # 1 에서 5 # k # 이다. 원과 직선이 만나면 d # r 이다
2
3 + 4 2
5 =-
-
]
따라서 k 의 최댓값은 ,5 최솟값은 5 이므로 최댓값과 최솟값의 곱은 5 # - g 25 이다.
예제 13 현의 길이
k
2
x
2
원 x + y = 12 와 직선 y =+ 와 만나서 생기는 현의 길이가 4 일 때, 실수 k 의 값을 구하시오.
x
k k y =+ k
,
k
y
원의 중심 00h 과 직선 x -+ = 0 사이의 거리는 d = = ,
^
1 + - 1g 2 2 2
2
]
k 2 2 d
2
반지름의 길이는 12 = 23 , 현의 길이가 4 이므로 d n = ^ 23 - 2 2 , k = 16 이다.
2
h
2 ^ , 00h
따라서 k = ! 4 이다. 23
140 Ⅲ . 도형의 방정식