Page 140 - 수학(상)

예제 01 원의 방정식

다음 원의 방정식을 구하시오.

1 ]g 중심이 원점이고 반지름의 길이가 4 인 원
2 ]g 중심이 ,2 - 3h 이고 반지름의 길이가 2 인 원
^
3 ]g 중심이 ,1 - 2h 이고 점 ,24h 를 지나는 원
^
^
,
,
^
4 ]g 세 점 ,12h , 35h , 62h 를 지나는 원
^
^
2
2
1 ]g x + y = 4 에서 x + y = 16 이다. 개념 다지기
2
2
2
2
3 =
3 =
2 + ^
]
2 + ^
]
2 ]g x - g 2 y + h 2 2 에서 x - g 2 y + h 2 4 이다. 단원
1 ]g 원의 표준형 09
3 ]g 원의 반지름의 길이를 r 라 하면 원의 방정식은
,
원의 중심이 점 C abh 이고 반지름의 길이가 r 인
^
,
2
2 =
1 + ^
^
x - g 2 y + h 2 r 에서 이 원이 점 24h 를 지나므로 2 2 2 원
]
b =
a + ^
]
원의 방정식은 x - g y - h r 이다. 의
2 - 1 + ]g 2 4 + g 2 2 , r r = 37 이다. 특히 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r 인
2
2 =
]
2 =
2
2
2
]
따라서 원의 방정식은 x - g 2 y + h 2 37 이다. 원의 방정식은 x + y = r 이다. 방
1 + ^
정
2
2
0
4 ]g 구하는 원의 방정식을 x + y + Ax + By + C = 이라 하면 2 ]g 원의 일반형
식
2
2
점 ,12h 를 지나므로 1 + 2 + A # + B # + C = 0 gg ① , xy 에 대한 이차방정식
1
2
^
x + y + Ax + By + C = 0 ] A + B - 4 C > 0g 은
2
2
2
2
3
2
2
,
5
점 35h 를 지나므로 3 + 5 + A # + B # + C = 0 gg ②
^
원의 중심이 C - A , - B l 이고 반지름의 길이가
b
,
2
2
6
점 62h 를 지나므로 6 + 2 + A # + B # + C = 0 gg ③ 2 2
2
^
2
2
①, ②, ③을 연립하여 풀면 A =- 7 , B =- 5 , C = 12 이므로 r = A + B - 4 C 인 원의 방정식이다.
2
구하는 원의 방정식은 x + y - 7 x - 5 y + 12 = 0 이다.
2
2
예제 02 원의 방정식의 일반형
2
0
2
원 x2 + y 2 - x 3 + y 4 + 2 = 의 중심과 반지름의 길이를 구하시오.
3 개념 다지기
0
2
2
x 2 + y 2 - x 3 + y 4 + 2 = 의 양변을 2 로 나누면 x + y - 2 x + y 2 + 1 = 에서
0
2
2
3 3 2 3 2 원의 일반형 x + y + Ax + By + C = 0 을
2
2
x - 2 x + b l - b l + y + y 2 + 1 - 1 + 1 = 0
2
2
2
2
4
4
b =
2
a + ^
]
3 2 2 3 2 원의 표준형 x - g 2 y - h 2 r 으로
b x - l + ^ y + h
1 = b l 이므로
4 4 고쳐서 원의 중심과 반지름을 구한다.
3 3
원의 중심은 b 4 , - 1l 이고 반지름의 길이는 4 이다.
꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)

개념 다지기
1단계 x2 + y 2 - x 3 + y 4 + 2 = 의 양변을 2 로 나누면
0
2
2
3 원의 표준형 x - g 2 y - h 2 r 에서
b =
2
a + ^
]
0
x + y - 2 x + y 2 + 1 = 이므로
2
2
2
b -
a + ^
3 3 ] x - g 2 y - h 2 r = , 0
양변을 x 에 대하여 미분하면 x2 - = 0 에서 x = 이고
2 4 x - 2 ax + a + y - 2 by + b - r = 0
2
2
2
2
2
1
양변을 y 에 대하여 미분하면 y2 + 2 = 에서 y =- 이다. 양변을 x 에 대하여 미분하면
0
3 x 2 - 2 a = 0 에서 x = a 이고
따라서 원의 중심은 b 4 , - 1l 이다.
3 3 양변을 y 에 대하여 미분하면
2
2
,
2단계 f xy = x + y - 2 x + y 2 + 이라 하고 b 4 , - 1l 을 대입하면 y 2 - b 2 = 0 에서 y = 이므로
1
h
^
b
3 3 2 3 3 원의 중심의 좌표는 abh 이다.
,
^
1 +
2
1 -
]
fb , - 1 = bl l + - g 2 # b l + 2 # - g 1 =- r 에서
]
4 4 2 4
b -
2
h
f^ , xy = ] x - g 2 y - h 2 r 이라 하면
a + ^
9 3
2
r = 이므로 r = 이다. 2
h
16 4 f^ , ab =- r 이다.
3
따라서 반지름의 길이는 4 이다.
135