Page 141 - 수학(상)

예제 03 직선 위에 중심이 있는 원의 방정식

,
,
중심이 직선 y = x 2 - 위에 있고 두 점 A 22h , B 51h 을 지나는 원의 방정식을 구하시오.
4
^
^
개념 다지기
4
,
a
구하는 원의 중심이 직선 y = x 2 - 위에 있으므로 원의 중심을 C a 2 - 4h 라
^
2
하면 CA = CB 이므로 ] a - 2 + ]g 2 2 a - 6 = ]g 2 a - 5 + ]g 2 2 a - 5g 이다. 중심이 C 인 원이 두 점 ,AB 를 지나면
CA = CB 이다.
2
양변을 제곱하여 정리하면 a5 2 - 28 a + 40 = 5 a - 30 a + 50 에서 a = 이다.
5
5
,
2 =
,
^
2 + ]
따라서 원의 중심은 56h 원의 반지름의 길이는 CA = ] 5 - g 2 6 - g 2 25 = 이므로
6 =
2
5 + ^
구하는 원의 방정식은 x - g 2 y - h 2 5 이다.
]
꼼수풀이 원의 표준형 이용

구하는 원의 중심이 직선 y = x 2 - 위에 있으므로 원의 중심을 a 2 - 4h , 반지름의 길이를 r 라 하면
,
4
a
^
4 =
2
원의 방정식은 x - g 2 y - 2 a + h 2 r gg ①
a + ^
]
4 =
2
,
4 =
,
^
이 원이 두 점 A 22h , B 51h 을 지나므로 2 - a + ]g 2 2 - 2 a + g 2 2 , r ] 5 - a + ]g 2 1 - 2 a + g 2 r gg ②
^
]
2
2
2
①, ②에서 a = 5 , r = 5 이므로 구하는 원의 방정식은 x - g 2 y - h 2 5 이다.
6 =
5 + ^
]
예제 04 원이 성립하기 위한 조건
2
방정식 x + y - x 4 + y 6 + + 5 = 이 원이 되도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하시오.
k
2
0
k
0
2
x + y - x 4 + y 6 + + 5 = 에서 개념 다지기
2
2
2
x - x 4 + 2 - 2 + y + y 6 + 3 - 3 + k + 5 = , 0 x - g 2 y + h 2 8 - k 이다. 방정식 x + y + Ax + By + C = 0 이 원이
3 =
2
2
2
2
2
2
]
2 + ^
b =
a + ^
되려면 원의 표준형 x - g 2 y - h 2 r 2
]
이 방정식이 원이 되려면 8 - k > 에서 k < 이다.
8
0
으로 고쳐 r > 0 , r > 0 이어야 한다.
2
꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)

k
0
2
2
1단계 x + y - x 4 + y 6 + + 5 = 의 개념 다지기
b =
2
]
a + ^
0
양변을 x 에 대하여 미분하면 x2 - 4 = 에서 x = 이고 원의 표준형 x - g 2 y - h 2 r 에서
2
2
b -
] x - g 2 y - h 2 r = , 0
a + ^
3
0
양변을 y 에 대하여 미분하면 y2 + 6 = 에서 y =- 이므로
2
x - 2 ax + a + y - 2 by + b - r = 0
2
2
2
2
원의 중심은 2 - 3h 이다.
,
^
양변을 x 에 대하여 미분하면
,
,
2단계 f xy = x + y - x 4 + y 6 ++ 이라 하고 2 - 3h 을 대입하면 x 2 - 2 a = 0 에서 x = a 이고
k
2
2
5
h
^
^
,
2
3 ++
3 =
2
2
3 -
^
f 2 - h 2 + - g 2 4 # + 6 # - g k 5 =- r 에서 양변을 y 에 대하여 미분하면
]
]
2
8 -= r 이다. y 2 - b 2 = 0 에서 y = 이므로
b
k
,
따라서 이 방정식이 원이 되려면 8 - k > 에서 k < 이다. 원의 중심의 좌표는 abh 이다.
8
^
0
2
b -
h
f^ , xy = ] x - g 2 y - h 2 r 이라 하면
a + ^
2
f^ , ab =- r 이다.
h
예제 05 두 점을 양 끝 점으로 하는 원의 방정식
,
,
^
^
두 점 A 12h , B 710h 을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구하시오.
,
구하는 원의 중심은 AB 의 중점이므로 AB 의 중점의 좌표를 C abh 라 하면 개념 다지기
^
1 + 7 2 + 10
a = 2 = 4 , b = 2 = 6 이므로 원의 중심은 C 46h 이다. (원의 중심) = (AB 의 중점 ),
,
^
원의 반지름의 길이는 r = 1 AB = AC 이므로 (반지름의 길이) = 1 2 AB 이므로
2
y 2 =
1 ^h
x 2 + ^
] x - x x - g y - y y - h 0 이다.
1 ]g
5
r = AC = ] 4 - g 2 6 - g 2 25 = 이다.
2 =
1 + ]
2
,
6 =
^
4 + ^
따라서 중심이 C 46h 이고 반지름의 길이가 5 인 원의 방정식은 x - g 2 y - h 2 5 이다.
]
다른풀이 공식 x - x x - g y - y 1 ^h y - y 2 = 0 이용

x 2 + ^
h
]
1 ]g
7
2
2
6 =
2
4 + ^
7 + ^
h
] x - 1 ]g x - g y - 2 ^h y - 10 = 0 에서 x - x 8 + + y - 12 y + 20 = , 0 x - g 2 y - h 2 5 이다.
]
136 Ⅲ . 도형의 방정식