Page 112 - Untitled

‫מ תמטיקה‪ ,‬קיץ תשפ"ג‪ ,‬מועד מיוחד‪ ,‬מס' ‪ + 35582‬נספח‬

‫الرياض ّيات‪ ،‬صيف ‪ ،2023‬موعد خا ّص‪ ،‬رقم ‪ + 35582‬ملحق‬

‫‪ z = x + iy‬هو عددد مر ّكب (‪َ x‬و ‪ y‬هما عددان حقيق ّيان)‪.‬‬ ‫‪. 3‬‬
‫أ ‪ ( 1) .‬ب ِّينوا أ ّن معادلة المح ّل الهندس ّي لجميع النقاط في مستوى چاوس التي تح ّقق‪ ، z2 - 2i = z2 + 4i :‬‬ ‫ ‬

‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هي ‬ ‫ ‬
‫‪2x‬‬

‫)‪ ( 2‬أعطوا مثالاً لعدد مر ّكب يقع على هذا المح ّل الهندس ّي‪.‬‬
‫ب ‪ .‬ح ّلوا المعادلة‪. z6 =1 :‬‬

‫حلول المعادلة التي وجدتموها في البند "ب" تم ّثل رؤوس المض ّلع ‪. I‬‬
‫المح ّل الهندس ّي المذكور في البند الفرع ّي "أ )‪ "(1‬يقطع في ال ُّر ْبع الرابع الدائرة التي تحصر المض ّلع ‪ I‬في النقطة ‪. A‬‬

‫جـ‪ .‬جدوا إحداث ّيات النقطة ‪. A‬‬ ‫ ‬

‫النقطة ‪ A‬هي رأس لمض ّلع منتظم آخر محصور في نفس الدائرة‪ ،‬المض ّلع ‪. II‬‬
‫معطى أ ّن‪ :‬عدد رؤوس المض ّلع ‪ II‬يساوي عدد رؤوس المض ّلع ‪. I‬‬
‫د‪ .‬جدوا الأعداد المر ّكبة التي تم ّثل جميع رؤوس المض ّلع ‪. II‬‬

‫نرمز‪. 01a160o ، w = r $ cis a :‬‬

‫يضربون جميع الأعداد التي تم ّثل رؤوس المض ّلع ‪ I‬بالعدد ‪ ، w‬بحيث ت ّتحد رؤوس المض ّلع ‪ I‬مع رؤوس المض ّلع ‪. II‬‬ ‫ ‬

‫هـ ‪ .‬جدوا ‪. w‬‬

‫ב‪cis0 , cis60 , cis120 , cis180 , cis240 , cis300 .‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫א‪.2‬‬ ‫הוכחה‬ ‫א‪.1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫ה‪w  cis15 .‬‬ ‫ד‪cis 45 , cis15 , cis75 , cis135 , cis195 , cis255 .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫الرياض ّيات‪ ،‬صيف ‪ ،2023‬الموعد "ب"‪ ،‬رقم ‪ + 035582‬ملحق‬

‫معطاة متوالية هندس ّية ‪ z1, z2 , z3 , ...‬حدودها هي أعداد مر ّكبة وأساسها هو ‪. q‬‬ ‫‪.3‬‬
‫ ‬
‫‪ z1‬يقع في ال ُّر ْبع الأ ّول‪.‬‬ ‫ ‬
‫معطى أ ّن ‪(z1)3 = z3 :‬‬

‫ ‪-2z1 = z3‬‬

‫أ‪ .‬بر ِهنوا أ ّن‪ q =- z1 :‬أو ‪. q = z1‬‬
‫ب ‪ .‬جدوا ‪. z1‬‬

‫أجيبوا عن البندين "جـ ‪ -‬د" بالنسبة ِلـ‪. q = z1 :‬‬

‫‪َ z4n‬و ‪ z4n - 2‬هما ح ّدان في المتوالية الهندس ّية المعطاة (‪ n‬هو عدد طبيع ّي)‪.‬‬
‫جـ‪ .‬ح ِّددوا بالنسبة لك ّل واحد من الح ّدين‪ ،‬هل هو وهم ّي (خيال ّي) أم حقيق ّي‪ .‬ع ِّللوا تحدي َد ْيكم‪ .‬‬

‫ ‪.‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪z64‬‬ ‫جدوا قيمة المجموع‪ :‬‬ ‫د ‪.‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2)2‬‬ ‫(‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪2 )64‬‬

‫‪ .3‬א‪ .‬הוכחה‪ .‬ב‪ . z1 2cis45° .‬ג=‪ z4n .‬ממשי‪ z4n−2 ,‬מדומה‪ .‬ד‪. 0 .‬‬