Page 108 - Modul Aljabar

Bukti
Misal V ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi n, dan

suatu himpunan = ( , , … , ) sembarang basis untuk V.
2
1

Basis ortogonal { , , … , } untuk V, dapat diperoleh melalui
1
2

proses Ortogonalisai Gram-Schmidt, dengan langkah langkah
sebagai berikut.
1. Misal =
1
1
2. Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dengan
2
1
cara menghitung komponen dari yang ortogonal
2
terhadap ruang yang direntang oleh , yaitu
1
1
= −
1 2
2
2
< , >
2
1
= −
2
2
‖ ‖ 2 1
1

3. Membentuk vektor yang ortogonal terhadap dan
3
1
dengan cara menghitung komponen dari yang
3
2
ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh dan
1
2
, yaitu
2
= −
3
2 3
3
< , > < , >
2
3
3
1
= − −
3
2
1
3
‖ ‖ 2 ‖ ‖ 2
2
1
4. Proses dilanjutkan sampai , untuk menghasilkan

himpunan ortogonal { , , … , } yang terdiri dari n

2
1
vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis
ortogonal untuk V. Penormalan vektor-vektor di basis
ortogonal akan menghasilkan basis ortonormal.
103