Page 103 - Modul Aljabar

Misal u = (1, 0), v = (0, 1) dan <u, v> = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2,
maka

1/2
‖u‖ = <u, u> 1/2 = [3.1.1 + 2.0.0] = √3
d(u, v) = ǁu − v ǁ = <1, 1> = [3.1.1 + 2.( −1). (−1)] 1/2 = √5

Definisi 1
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut

himpunan orthogonal jika semua pasang himpunan vektor-
vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal.

Sebuah yang orthogonal yang semua vektornya bernorma 1
dinamakan orthonormal.

1 1
Contoh : Misal u = (0, 1, 0), v = ( , 0, ) , =
√2 √2
1 1
( , 0, − )
√2 √2
<u, v> = 0, <u, w> = 0, <v, w>= 0

Jadi {u, v, w} himpunan yang orthogonal.

ǁuǁ = 1, ǁvǁ = 1, ǁwǁ = 1
Jadi {u, v, w} himpunan yang orthonormal

7.3 Keortogonalan Pada Ruang Hasil Kali Dalam

Misalkan V adalah ruang hasilkali-dalam. Maka vektor-
vektor u, ve Vdikata- kan ortogonal dan u dikatakan ortogonal

terhadap v jika < , >= 0. Hubungan ini jelas bersifat

simetrik, yaitu jika u ortogonal terhadap v, maka < , >= 0,
sehingga v juga ortogonal terhadap u. Kita perlu mencatat bahwa

0 € V ortogonal terhadap setiap ve V, karena < 0, 1 >= <

0 , 1 >= 0 < , 1 > = 0. Sebaliknya, jika u ortogonal terhadap
setiap ve V, maka <u, u>= 0, sehingga u = 0 berdasarkan [1,].

98