Page 83 - Buku PD 2020 Lengkap Pak Panjaitan

Transformasi :y = ux, dy = u dx + x du
P.D homogen tersebut tereduksi menjadi:

⇔ (ux − x)(u dx + x du) − (ux + x)dx = 0

2
2
⇔ (u x − ux − ux − x)dx + (ux − x )du = 0
2
⇔ x(u − 2u − 1)dx + x (u − 1)du = 0
2
2
Dengan faktor integrasi : 1 , PD tereduksi menjadi:
x (u −2u 1)
2
2
1 (u − 1)
⇔ dx + du = 0
2
x u − 2u − 1
Dengan mengintegrasikan bagian demi bagian akan diperoleh solusi umum
P.D variabel-variabel terpisah.
2
1 1 d(u − 2u − 1)
⇔ ∫ dx + ∫ = k
2
x 2 u − 2u − 1
[karena d(u − 2u − 1) − (2u − 2)du = 2(u − 1)du]
2
1
2
⇔ ln|x| + ln|u − 2u − 1| = k
2
2
2
⇔ lnx (u − 2u − 1) = ln c, (c = e )
2k
2
2
⇔ x (u − 2u − 1) = c
Gantilah u dengan y/x didapat solusi umum P.D homogen
y 2 y
2
⇔ x ( − 2 − 1) = c
x 2 x
2
2
⇔ y − 2xy − x = c
∴ solusi umum P.D homogen di atas adalah:

2
y = 2xy − x = c
2
Dalam masalah nilai awal dengan kondisional y(0) = 2 maka harga c
dapat ditentukan.

Solusi umum P.D homogen itu dapat dituliskan sebagai:
2
2
y (x) − 2x y(x) − x = c
Dengan kondisi awal y(0) = 2 didapatkan:
2
2
y (0) − 2.0. y(0) − 0 = c
2
2 − 0 − 0 = c
c = 4

Dengan demikian solusinya adalah :

81