Page 76 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

L´ ogica y reticulados
La vinculaci´ on estrecha que existe entre la l´ ogica y las estructuras
algebraicas conocidas como reticulados (lattices, treillis) ha sido puesta
de manifiesto en muchas oportunidades diferentes. Sin ´ animo de reali-
zar una enumeraci´ on completa, pueden recordarse los casos:

las l´ ogicas booleanas, ver [4],
las l´ ogicas multivaluadas, ver [55, 56],
la epistemolog´ ıa gen´ etica de Piaget, ver [2, 71],
la l´ ogica cu´ antica, ver [46, 47],

las l´ ogicas multivaluadas de uso t´ ecnico, ver [85].

Las vinculaciones entre los reticulados y las l´ ogicas booleanas son
bien conocidas. Los primeros intentos de construir l´ ogicas multivalua-
das, realizados por Jan Lukasiewicz (1878, 1956) y Alfred Tarski (1901,
1983) [55, 56] o Emil Post (1897, 1954)[77], conduc´ ıan a reticulados
muy simples, con estructuras lineales de cadenas. No debemos desco-
nocer, sin embargo, que la formalizaci´ on de la teor´ ıa de los reticulados
reci´ en ocurri´ o entre 1933 y 1937, bastante despu´ es de estos primeros
intentos de generalizaci´ on. Posiblemente por su simplicidad, estos in-
tentos no progresaron todo cuanto hubieran podido.
En el estudio de la g´ enesis del conocimiento que emprendi´ o Jean
Piaget (1896, 1980) encuentr´ o en reiteradas ocasiones la noci´ on de re-
ticulado y esto le llev´ o a considerar estructuras intermedias, los grou-
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pement, entre los grupos y los reticulados, como formas de expresi´ on
de esta g´ enesis [70]. Ya desde los comienzos de la formulaci´ on de la
mec´ anica cu´ antica, John von Neumann (1903, 1957) y Garret Birkhoff
(1911, 1996) y otros autores [46] reconocieron la necesidad de expresar
las relaciones l´ ogicas que ocurren en algunos aspectos de la teor´ ıa con
reticulados m´ as complejos que los booleanos. En este caso particular,
era la propiedad distributiva de la operaci´ on l´ ogica Y la que suger´ ıa es-
te camino. Sin embargo, estos intentos no se han concretado, hasta el
presente, en resultados nuevos.
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En [2, III,1] se presenta una formalizaci´ on de estas ideas.
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