Page 52 - 13 Pitagoras

comprobar cómo, a continuación, el geó-
FIG.10
metra demuestra el inverso del teorema
A
de Pitágoras. Es la proposición 48, que
habitualmente suele pasar desapercibida,
pero tiene un gran valor lógico-deduc-
tivo, que Euclides reivindica. En ella se
afirma que si en un triángulo rectángulo,
el cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados,
el ángulo que estos forman es recto (fi-
gura 10). La demostración consiste en trazar un segmento CD per-
pendicular a AC e igual a CB. Por hipótesis:

y por ser rectángulo el triángulo ADC:

2 2 2
AC +CD =AD •
Como BC= CD, tiene que ser AB =AD y, por tanto, AB=AD.
2
2
De manera que los triángulos ADC y ABC son congruentes, y el
ángulo ACB, igual al ACD, debe ser recto.
Euclides también presenta una aproximación gráfica al pro-
blema, transformando cada cuadrado sobre un cateto en su pa-
ralelogramo de igual área (puesto que tienen igual base e igual
altura), para luego recolocar estos paralelogramos en el cuadrado
sobre la hipotenusa. Esta genial prueba aclara la parte que ocupa
cada uno de los cuadrados sobre los catetos (figura 11) .

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52 EL TEOREMA