Page 114 - MTK SMK 10 TO ALI 2.tif

BAB III Matriks 103

=
A − 1 = 1 ⎛ ⎜ ⎜ 4 5⎞ ⎟ ⎟ = 1 ⎛ ⎜ 4 5⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ ⎜ 4 5⎞ ⎟ ⎟
⎜
4 ⋅ 4 − (− ) 3 ⋅ (− ) 5 ⎝ 3 4 ⎠ 1 ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠

⎛x ⎞ ⎛4 5 ⎞ ⎛− 2 ⎞ ⎛− 8 + 02 ⎞ ⎛12 ⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟
⎟
⎟
⎝ y ⎠ ⎝ 3 4 ⎝ ⎠ 4 ⎠ ⎝ − 6 +16 ⎠ ⎝ 10 ⎠

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(12, 10)}.

Di samping menggunakan cara invers dapat juga penyelesaian sistem persamaan linier
dicari dengan menggunakan kaidah Cramer.
Jika ⋅X = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linier dan
A
n variabel yang tidak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai
penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalah
det ( A ) det ( A ) det ( A )
x = det ( A 1 ) x , 2 = det ( A 2 ) ,. x = det ( A n )
1
n
dimana A j adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam
kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks
⎛c 1 ⎞ ⎟
⎜
C = ⎜ c 2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Contoh 36
Gunakan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan
berikut ini.
3x – 5y = 11
2x + y = 3

Jawab:
⎛3 − 5 ⎛ ⎞ x ⎞ ⎛11 ⎞
Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ , dari
⎟
⎝ 2 1 ⎝ ⎠ y ⎠ ⎝ 3 ⎠
bentuk ini didapat.

⎛ 3 − 5⎞ 3 − 5
A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ dan det ( A ) = = 3⋅ 1 − 2 ⋅ (− ) 5 = 13
⎝ 2 1 ⎠ 2 1

⎛ 11 − 5⎞ 11 − 5
A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ dan det ( A 1 ) = = 11⋅ 1 − 3⋅ (− ) 5 = 11 + 15 = 26
1
⎝ 3 1 ⎠ 3 1

⎛ 3 11⎞ 3 11
A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ dan det ( A 2 ) = = 3⋅ 3 − 2 ⋅ 11 = − 13
2
⎝ 2 3 ⎠ 2 3

det ( A ) 26 det ( A ) − 13
sehingga x = 1 = = 2 dan y = 2 = = − 1
det ( A ) 13 det ( A ) 13

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah {(2, -1)}