Page 197 - analysinew

197
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

3. ΟΡIΟ (ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ)
Αν ισχύει |f(x)- η μ x| 2ημ χ
2
να δείξετε ότι
f(x)
lim =1
x 0 x

Η δοσμένη σχέση γίνεται διαδοχικά

2
2
2
| f(x)-ημx| 2ημ x -2ημ x f(x)-ημx 2ημ x

~ ημx-2ημ x f(x) ημx+2ημ x (1)
2
2
Διαιρούμε την (1) με χ
● Αν χ>0 η (1) γίνεται
ημx -2 ημ x f(x) ημx +2 ημ x
2
2
x x x x x

ημx -2x ημx 2 f(x) ημx +2x ημx 2
x x x x x

lim ημx -2x ημx 2 = lim ημx -2 lim x lim ημx 2

x 0 + x x x 0 + x x 0 + x 0 + x

= 1-2× 0× 1 2 = 1
lim ημx +2x ημx 2 = lim ημx +2 lim x lim ημx 2
x 0 + x x x 0 + x x 0 + x 0 + x

= 1+2× 0× 1 2 = 1
Συνεπώς, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι
f(x)
lim =1
x 0 x
● Αν χ<0 η (1) γινεται
ημx +2 ημ x f(x) ημx -2 ημ x
2
2
x x x x x

ημx +2x ημx 2 f(x) ημx -2x ημx 2
x x x x x

lim ημx +2x ημx 2 = lim ημx +2 lim x lim ημx 2
x 0 - x x x 0 - x x 0 - x 0 - x

2
= 1+2× 0× 1 = 1
lim ημx -2x ημx 2 = lim ημx -2 lim x lim ημx 2
x 0 - x x x 0 - x x 0 - x 0 - x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017